exp-Funktion einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Salut liebe MatheRaum-Mitglieder!
Eine Frage zur allgemeinen Vorgehensweise betreffend die Exponentialfunktion einer Matrix:
Ich habe eine Matrix gegeben, z. B.
A = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
und suche nun eine Matrix B, sodass [mm] \exp(B) [/mm] = A.
Die gesuchte Matrix über Maple etc. zu finden, stellt nun kein größeres Problem dar - beim Versuch, dergleichen "per Hand" zu bewerkstelligen komme ich allerdings an die Grenzen meiner Fantasie - nur leider ohne Ergebnis... ;)
Habt ihr eventuell Vorschläge / Tipps / ...?!
Bereits jetzt herzlichen Dank und bis bald - au revoir!
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Hallo!
Probier' den Ansatz [mm] $B=\pmat{a&0\\0&b}$.
[/mm]
Denk daran, dass [mm] $\summe_{k=0}^\infty\bruch{1}{k!}\pmat{a&0\\0&b}^k=\summe_{k=0}^\infty\bruch{1}{k!}\pmat{a^k&0\\0&b^k}$, [/mm] und dass du die Summe in die Matrix hineinziehen kannst...
Dann kommst du auf die Gleichung [mm] $\pmat{e^a&0\\0&e^b}=\pmat{-1&0\\0&-1}$...
[/mm]
Willst du allerdings wirklich [mm] $\exp(B)=A$? [/mm] Oder nicht doch [mm] $\exp(A)=B$?
[/mm]
Gruß, banachella
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Bonjour!
Also, zunächst einmal ganz herzlichen Dank - merci beaucoup!
Und: Ja, ich suche tatsächlich B, sodass exp(B) = A gilt (die andere Version wäre mir im Moment zwar auch lieber, aber leider, leider... ;) ).
Ich hatte es zwar bereits mit Diagonalmatrizen versucht, das Problem dabei ist aber doch, dass [mm] e^a [/mm] = -1 und [mm] e^b [/mm] = -1 zumindest meines Empfindens keine reellen Lösungen für a und b aufweisen - die Matrix B jedoch reell sein soll.
(Im weiteren Problemverlauf suche ich zwar auch einmal eine komplexe Matrix à la exp(D) = C mit C = [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & -1 }, [/mm] D komplex, aber um zunächst einmal das Prinzip zu verstehen würde mir schon exp(B) = A genügen).
Übersehe ich dabei etwas oder kannst du mir deine Idee vielleicht noch etwas näher erklären?!
Auf jeden Fall bereits jetzt schon noch einmal vielen Dank!
Au revoir!
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Hallo!
Eigentlich bezweifle ich, dass es eine reelle Matrix $B$ gibt mit [mm] $\exp(B)=A$, [/mm] denn:
Da $A$ den doppelten Eigenwert $-1$ hat, müssten die Eigenwerte von $B$ die Gleichung [mm] $e^\lambda=-1$ [/mm] erfüllen. Also wäre [mm] $\lambda_1=(2j+1)*i\pi$, $\lambda_2=(2k+1)*i\pi$ [/mm] mit [mm] $j,k\in\IZ$ [/mm] und damit das charakteristische Polynom [mm] $\chi_B(x)=(x-(2j+1)*i\pi)(x-(2k+1)*i\pi)=x^2-2(k+j+1)*i\pi x-(2j+1)(2k+1)\pi^2$.
[/mm]
Dieses Polynom hat komplexe Koeffizienten. Wäre aber $B$ eine reelle Matrix, müsste das charakteristische Polynom reelle Koeffizienten haben.
Jedenfalls würde bei mir nur die komplexe Lösung [mm] $B=\pmat{(2k+1)i\pi&0\\0&(2j+1)i\pi}$ [/mm] herauskommen.
Gruß, banachella
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