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Forum "Uni-Lineare Algebra" - euklidischer Ring
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euklidischer Ring: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:01 Di 18.04.2006
Autor: Elbi

Aufgabe
Es sei [mm]\IZ [i] := \{a + bi | a,b\in \IZ \} \subseteq \IC[/mm]
Zeigen Sie:
[mm]\IZ [i][/mm] ist euklidischer Ring bzgl. geeigneter Abbildung.

Hallo ihr's,

ich hoffe ihr hattet schöne Ostern.
Also ich hab' da sie Aufgabe und weiß einfach nicht wie ich das zeigen soll. Wie zeige ich, dass etwas ein euklidischer Ring ist?

Wäre echt super nett, wenn mir das jemand erklären könnte.

LG

Elbi
        
Bezug
euklidischer Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Di 18.04.2006
Autor: choosy

nun zuerst musst du  jene geeigneten Abbildungen angeben, die in der aufgabe genannt werden. (das sind die standard multiplikation und addition in [mm] $\IC$) [/mm]

dann musst du damit die Ringeigenschaften nachrechnen
z.B.
[mm] $0\in \IZ [/mm] [i]$ ist erfüllt, denn $ 0 = 0+0i, [mm] 0\in \IZ$ [/mm]

als letztes musst du noch nachrechnen ob der Ring euklidisch ist.
Bezug
        
Bezug
euklidischer Ring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 Di 18.04.2006
Autor: yalu

Hey du.

Also zufälliger Weise muss ich die selbe Aufgabe lösen ;-).
Ich entnehme der Definition aus der Vorlesung doch, dass wir zwei Dinge zeigen müssen:

(i) R ist nullteilerfrei also ein Integritätsbereich - d.h. z.B.:

[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R mit a [mm] \not= [/mm] 0 , b  [mm] \not= [/mm] 0 : a * b [mm] \not= [/mm] 0

(ii) für die angegebene Abbildung gilt:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R [mm] \exists [/mm] q,r [mm] \in [/mm] R mit a = qb + r wobei r=0 oder  [mm] \nu(r) [/mm] < [mm] \nu(b) [/mm]

Also muss man quasi explizit ein q,r angeben für alle a,b  ??
Ich habe bis jetzt beides nicht geschafft :-)
Also bin auch über gute Tipps dankbar :-)
Bezug
        
Bezug
euklidischer Ring: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Do 20.04.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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