euklidische Geometrie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Di 03.02.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes das Minimum der Funktion [mm] f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+(x_{2}-2)^{2} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] x_{1}-x_{2}=0 [/mm]
Geben Sie eine kurze geometrische Interpretation dieses Optimierungsproblems |
Hallo Leute, also die geometrische Interpretation hat was mit der euklidischen Geometrie zu tun.
Formt man die Nebenbedingung um, so erhält man [mm] x_{1}=x_{2}, [/mm] also eine Gerade vom Ursprung mit der Steigung 1. Wie lässt sich jedoch die eigentliche Funktion geometrisch interpretieren? Was hat [mm] f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+(x_{2}-2)^{2} [/mm] geometrisch zu bedeuten und wie liest man sowas? Gibt es da einen Trick, bzw. kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $ [mm] f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+(x_{2}-2)^{2} [/mm] $
Anschaulich: [mm] $f(x_1,x_2)$ [/mm] = ( Abstand von [mm] (x_1,x_2) [/mm] zum Punkt (0,2) [mm] )^2
[/mm]
Die Nebenbedingung [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] stellt eine Gerade dar, wie Du richtig bemerkt hast.
Das Optimierungsproblem ist also: finde auf obiger Gerade einen Punkt [mm] (x_1,x_2) [/mm] derart, dass dieser Punkt vom Punkt (0,2) einen minimalen Abstand hat.
Mal dir mal ein Bild, dann wirst Du erkennen : dieser Punkt ist (1,1)
Diese Ergebnis liefert natürlich auch der Lagrange-Ansatz
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Di 03.02.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo Fred und danke für die Antwort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Di 03.02.2009 | | Autor: | Owen |
Eine Nachfrage hab ich noch. Angenommen die Funktion lautet [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-2)^{2} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] g(x_{1},x_{2})=x_{1}-x_{2}+1=0
[/mm]
Die Nebenbedingung ist dann eine Grade durch den Punkt P(1,0) mit der Steigung 1. Die Funktion beschreibt den Abstand von der Geraden zum Punkt (3,2). Dieser Punkt liegt auf der Geraden, der Abstand ist somit 0. Ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 03.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Pkt (3,2) liegt nicht auf g nur (2,3)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Di 03.02.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo leduart und danke für die Antwort. Also ich habs gerade mit Lagrange nachgerechnet und komme auch auf den Punkt (2,3). Ich verstehe bloß nicht, warum das Ergebnis mit meiner graphischen Lösung nicht übereinstimmt. Ich forme die Nebenbedingung um zu: [mm] x_{1}=x_{2}-1
[/mm]
Eingesetzt bekomme ich an der Stelle [mm] x_{1}=3 [/mm] für [mm] x_{2} [/mm] eine 2 heraus. Wo liegt der Fehler?
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> Hallo leduart und danke für die Antwort. Also ich habs
> gerade mit Lagrange nachgerechnet und komme auch auf den
> Punkt (2,3). Ich verstehe bloß nicht, warum das Ergebnis
> mit meiner graphischen Lösung nicht übereinstimmt. Ich
> forme die Nebenbedingung um zu: [mm]x_{1}=x_{2}-1[/mm]
> Eingesetzt bekomme ich an der Stelle [mm]x_{1}=3[/mm] für [mm]x_{2}[/mm]
> eine 2 heraus. Wo liegt der Fehler?
hallo,
bei Deiner Rechnerei.
Setze ich für [mm] x_1 [/mm] die 3 ein, so bekomme ich [mm] 3=x_{2}-1 [/mm] ==> [mm] x_2=4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Di 03.02.2009 | | Autor: | Owen |
Hoppla, jetzt ist es klar, danke.
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