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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Sa 02.09.2006 | | Autor: | kelviser |
| Aufgabe | die funktion f(x):= [mm] \bruch{x²-1}{x-1} [/mm] ist an der stelle 1 nicht stetig.
sie hat dort eine definitionslücke.
welchen funktionswert muss man für x=1 festsetzen , damit die dadurch erweiterte funktion an der stelle 1 stetig ist. (stetige erweiterung). |
hallo
ich habe in meinem mathe-lexikon gelesen, dass man hier durch polynomdivision weiterkommt.
doch ich habe es öeider nicht hingekriegt.
kann mir bitte jemand weiterhelfen??
danke im voraus....:))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
So weit muss man hier garnicht gehen ;)
Wenn man sich die Funktion anguckt, dann könnte man auch sehen:
[mm] f(x)=\bruch{x²-1}{x-1}=\bruch{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1
[/mm]
Also müsste für x=1 der Funktionswert gleich 2 sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Sa 02.09.2006 | | Autor: | kelviser |
hallo und danke für deine schnelle antwort, aber wie kommt man auf die 2????
und wie verfahre ich mit der funktion f(x):= [mm] \bruch{sin(x)}{x}???
[/mm]
danke
lg fabi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, also diese f(x)=x+1 ist wie eine Ersatzfunktion für diese [mm] f(x)=\bruch{(x²-1) }{x-1}, [/mm] da sie durch Umformung genau das selbe ergeben. Nur dass halt x+1 überall definiert ist! Das ist der einzige Unterschied zwischen den beiden Funktionen.
Also setzt man den x-Wert ein, den das Original [mm] (f(x)=\bruch{(x²-1) }{x-1}) [/mm] nicht annehmen kann einfach in die dazu äquivalente Ersatzfunktion ein. Also x=1. Und f(1)=1+1=2 :)
Bei [mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{x} [/mm] muss man da anders rangehen:
Die Definitionslücke [mm] x_{0}=0.
[/mm]
Nun muss man schauen auf welchen Wert die Funktion zu geht, wenn x gegen 0 geht. Einmal von rechts (x>0) und einmal von links (x<0).
Ich weiß nicht, wieviel dir Ableitungen und l'Hospital sagen.
Aber wenn du die Regel von l'ospital einsetzt kommst du darauf, dass [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] ist.
(Denn da sin(x) und x für x->0 beide gegen 0 gehen, darf man da [grob gesagt] sin(x) und x ableiten und erhält dadurch [mm] \bruch{cos(x)}{1} [/mm] und wenn man das gegen 0 laufen lässt geht cos(x) von links und von rechts gegen 1).
f(0)=1 müsste also gelten, damit f(x) bei 0 stetig ist.
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