erwartungswert bei urne < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | eine urne enthält fünf kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. es wird 50 mal mit zurücklegen gezogen, X sei die summe der 50 gezogenen zahlen.
ermitteln sie für X den wertebereich, den erwartungswert und die standardabweichung. wie lauten die entsprechenden werte, wenn als zufallsgröße der mittelwert der gezogenen zahlen betrachtet wird? |
die werteverteilung müsste ja von 50 bis 250 reichen, wenn man die summe anschaut, oder?
aber wie komm ich denn auf die wahrscheinlichkeitsverteilung?
wenn nur 2mal mit zurücklegen gezogen werden würde, könnt ich mir das schön aufzeichnen und die wahrscheinlichkeitsverteilungen abzählen...aber wie geht das denn bei 50 mal? kann man vom 2 mal ziehen auf das 50 mal ziehen schließen?
danke
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Wenn du 50 Mal ziehst, dann solltest du annehmen, dass jede der fünf Zahlen 10 Mal gezogen wird.
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danke!
ist der erwartungswert also 50*3, also 150?
und die standardabweichung rechne ich dann erst durch die varianz bei 1mal ziehen aus und multipliziere das dann mit [mm] 50^2 [/mm] und nehme davon die wurzel, dann habe ich die standardabweichung, oder?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:13 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Landgraf |
Für den Erwartungswert dieser gleichartigen Ziehungen gilt:
E [50 Ziehungen] = 50 * E[1 Ziehung]
Das hast Du ja bereits berechnet.
Etwas formaler: [mm] x_i [/mm] für i = 1,2, ..., 50 seien die Realisierungen von 50 Zufallsvariablen [mm] X_i [/mm]
Dann gilt [mm] E [\sum_{i=1}^{50} x_i] = \sum_{i=1}^{50} E[x_i] [/mm]
Für die Varianz gilt (bei stochastischer Unabhängigkeit der einzelnen Zufallsvariablen!)
Var [50 Ziehungen] = [mm] 50^2 [/mm] * Var [1 Ziehung]
Insofern alles richtig!
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noch eine frage...
du hast ja gesagt:
Var [50 Ziehungen] = 50²* Var [1 Ziehung]
genauso haben wirs eben auch gelernt.
dann müsste für diese aufgabe aber doch als ergebnis
50²*8 = 20000 rauskommen, oder?
und als standardabweichung die wurzel davon!
aber im lösungsheft steht, dass für die standardabweichung 10 rauskommt...
was hab ich denn jetzt schon ´wieder falsch gemacht...?
danke:)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Di 02.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Erika,
> Var [50 Ziehungen] = 50²* Var [1 Ziehung]
> genauso haben wirs eben auch gelernt.
Das wäre aber peinlich für euren Lehrer! Denn das ist falsch.
Bei unabhängigen Zufallsvariablen [mm] $X_1, X_2$ [/mm] gilt
[mm] $V(X_1 [/mm] + [mm] X_2) [/mm] = [mm] V(X_1) [/mm] + [mm] V(X_2)$
[/mm]
Bei 50 Zufallsvariablen mit gleicher Varianz 2 ist also die Varianz der Summe genau 100.
Damit ist die Standardabweichung 10 und das Lösungsbuch hat (ausnahmsweise) recht (auch wenn das sonst oft genug nicht der Fall ist).
Die Varianz einer mit einem Faktor r skalierten ZV ist gleich der Varianz der ZV multipliziert mit [mm] $r^2$.
[/mm]
Da für die Durchschnittsbildung durch 50 dividiert wird, ist also die Varianz des Durchschnitts
[mm] $V(\widebar{X}) [/mm] = [mm] \frac{100}{50^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{25}.$
[/mm]
Didaktisches Ziel dieser Aufgabe ist es, daß du erkennst:
Die Durchschnittsbildung verkleinert die Varianz erheblich. Wichtige Anwendungen dieses Prinzips liegen bei der Auswahl von Wertpapieren für ein Depot. Wenn man weiß, daß der Markt sich insgesamt nach oben bewegt, aber einzelne Werte durchaus auch einmal kräftig abstürzen können, legt man eben sehr viele Papiere aus möglichst unabhängigen Branchen ins Depot. Dadurch hat man an den durchschnittlichen Gewinnen vollen Anteil aber verringert das Risiko sehr stark.
War das halbwegs verständlich?
Gruß
Will
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danke für die hilfe! aber ich hab noch ein paar fragen...
vielleicht hab ich die formel falsch abgeschrieben, ich meinte folgende:
Var(a* X) = a² * Var(X)
die steht auch hier:
[mm] http://fbi.forst.uni-goettingen.de/skripten/statistica/v5/v5_a.html
[/mm]
bei dem zufallsexperiment mit der urne, bedeutet das doch (so wie ich es verstanden habe), dass man die varianz bei einmal ziehen ausrechnen muss und wenn es dann heißt bei 50mal ziehen, muss man die varianz von dem einen mal ziehen mit 50² multiplizieren, also in der formel oben entspricht das a der zahl 50. aber das stimmt ja anscheinend nicht, oder? für welche fälle gilt das dann?
ich hab bei der aufgabe mit der urne mal die varianz von 1mal ziehen ausgerechnet, die ist: 2
die varianz von 2mal ziehen ist 4
und die varianz von 3mal ziehen ist 8,666...
aber das kann doch nicht stimmen, aber ich habs 2mal gerechnet!
danke...:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Di 02.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Var(a* X) = a² * Var(X)
Die Formel ist korrekt. Die habe ich dir ja auch unten in meinem Beitrag angegeben.
> bei dem zufallsexperiment mit der urne, bedeutet das doch
> (so wie ich es verstanden habe), dass man die varianz bei
> einmal ziehen ausrechnen muss und wenn es dann heißt bei
> 50mal ziehen, muss man die varianz von dem einen mal ziehen
> mit 50² multiplizieren, also in der formel oben entspricht
> das a der zahl 50. aber das stimmt ja anscheinend nicht,
> oder? für welche fälle gilt das dann?
Das siehst du richtig. Die Formel oben könntest du z.B. dann einsetzen, wenn du einmal aus der Urne ziehst und dann das Ergebnis mit 50 multiplizierst.
In der Aufgabe wird aber 50 mal gezogen, also hast du 50 Z.-Variablen, die voneinander unabhängig sind.
Eine weitere Anwendung siehst du in meinen Ausführungen weiter unten. Dort wird durch 50 geteilt (Mittelwertbildung), also muß die Varianz durch [mm] $50^2$ [/mm] geteilt werden.
>
> ich hab bei der aufgabe mit der urne mal die varianz von
> 1mal ziehen ausgerechnet, die ist: 2
korrekt
> die varianz von 2mal ziehen ist 4
korrekt
> und die varianz von 3mal ziehen ist 8,666...
ne, die ist 6!
> aber das kann doch nicht stimmen, aber ich habs 2mal
> gerechnet!
Poste deine Rechnung, wenn du den Fehler nicht findest.
> danke...:)
Bitte 
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vielen dank!
hab 2mal das falsche gerechnet:) bekomme jetzt doch als varianz 6 raus!
ich glaub, ich hab das mit der formel jetzt kapiert! danke:)
habs fälschlichereweise als frage eingestuft!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Di 02.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Ich habe deine Frage mal als Mitteilung gewertet und entsprechend markiert, da du ja keine Rückfrage mehr gestellt hast.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 02.10.2007 | | Autor: | Landgraf |
Sicherlich ist das nicht, wie von einem Vorredner geschrieben, "peinlich für den Lehrer" sondern es lohnt sich einmal näher auf die verschiedenen Fälle einzugehen.
Standardfall einer linearen Transformation ist nämlich tatsächlich
[mm] Var [a*X] = a^2*Var[X] [/mm]
Somit war es bei oberflächlicher Betrachtung zunächst naheliegend dies hier anzuwenden. Dann müßte es sich allerdings um EINE Realisierung der Zufallsvariable X, multipliziert mit a, handeln.
Hier jedoch geht es um a verschiedene konsekutive Realisierungen einer Zufallsvariable X. Dann ist die Varianz tatsächlich erheblich kleiner, da sich die Extremwerte "ausmitteln". Dadurch wird die allgemeine Formel jedoch nichtt falsch, es muss lediglich darauf geachtet werden, wie sie anzuwenden ist:
[mm] Var [\summe_{i=1}^{50} a_i*X_i] = \summe_{i=1}^{50} a_i^2*Var[X_i] + 2* \summe_{i=1}^{50} \summe_{j = i+1}^{50} a_i*a_j Cov [X_i, X_j] [/mm] mit [mm] a_i =1 \forall i , X_i = X \forall i , Cov = 0 \forall i,j [/mm] [mm] \Rightarrow Var [\summe_{i=1}^{50} a_i*X_i] = \summe_{i=1}^{50} Var[X] = 50*Var[X] [/mm]
Nicht empfehlen würde ich dagegen etwas wie
[mm] Var [X_1 + X_2] = Var[X_1] + Var[X_2] [/mm]
zu lernen. Das ist nämlich öfters falsch, als das es stimmt.
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