erwartungstreuer Schätzer, Var < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise, dass für n >= 2 die modifizierte Stichprobenvarianz
[mm] s_{n}^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_{i} [/mm] - [mm] \overline{X} )^{2} [/mm]
ein erwartungstreuer Schätzer der Varianz ist. |
Hallo ,
komme bei diesem Beweis nicht mehr weiter ich schreib mal den Anfang hin:
[mm] E(s_{n}^{2} [/mm] )
= E( [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} (X_{i} [/mm] - [mm] \overline{X} )^{2} [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E((X_{i} [/mm] - [mm] \overline{X})^2 [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] E(X_{i}^2 [/mm] ) -2 E(X) [mm] E(X_i) [/mm] + [mm] (E(X))^2 [/mm] )
= [mm] \bruch{n}{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] ) - [mm] \bruch{2}{n-1} [/mm] E(X) [mm] \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}
[/mm]
= [mm] \bruch{n}{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] ) - [mm] \bruch{2n}{n-1} [/mm] E(X) E(X)
[mm] =\bruch{n-2n}{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] )
= [mm] \bruch{-n}{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] )
= - [mm] \bruch{n-1 +1 }{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] )
= - [mm] \bruch{n-1 +1 }{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-1} \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] )
= - [mm] (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {1}{n-1} [mm] (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {1}{n-1} [mm] \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] )
Also bleibt jetzt zu zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{n-1} (E(X))^2 [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {1}{n-1} [mm] \summe_{i=1}^{n} E(X_{i}^2 [/mm] ) = [mm] E(X^2 [/mm] )
ist.
Aber wie?
Wäre nett, wenn mir jemand einen HInweis dazu geben könnte.
Danke :)
LG
Student
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mo 14.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin student0815,
auf die Schnelle: Setze [mm] $\mu=\operatorname{E}[X]$, [/mm] und betrachte
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} (X_{i}-\overline{X} )^{2} =\summe_{i=1}^{n} ((X_{i} -\mu)+(\mu -\overline{X}) )^{2} [/mm] $.
Loese das Quadrat auf...
vg Luis
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