erwartungstreuer Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 10.05.2010 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Seien [mm] X_{1},...X_{n} [/mm] unabhängige ZV mit [mm] x_{i} \sim N(\mu,\sigma^{2}) [/mm] (i=1,...,n) für einen bekannten Parameter [mm] \mu [/mm] und einen unbekannten Parameter [mm] \sigma^{2} \in (0,\infty).
[/mm]
a) Bestimmen Sie eine Konstante c [mm] \in \IR, [/mm] so dass [mm] T_{1} =\bruch{c}{n}\summe_{i=1}^{n}|X_{i} [/mm] - [mm] \mu| [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \sigma [/mm] ist.
b) Berechnen Sie die Risikofunktion von [mm] T_{1}.
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass [mm] t_{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2} [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \sigma^{2} [/mm] ist.
d) Bestimme die Verteilung von [mm] T_{2}.
[/mm]
e) Zeigen Sie, dass [mm] T_{2} \sim AN(\sigma^{2}, \bruch{2\sigma^{4}}{n}) [/mm] gilt.
f)Bestimmen Sie die asymptotische Verteilung von [mm] T_{3}=\wurzel{T_{2}}.
[/mm]
g) Vergleichen Sie die Schätzer [mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{3}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe mich an Aufgabe a gesetzt und stoße da auf ein kleines Problem.
Ich muss ja den Erwartungswert von [mm] T_{1} [/mm] bestimmen und dann gleich [mm] \sigma [/mm] setzen, um c zu erhalten. Beim Bestimmen des Erwartungswertes habe ich schon ein Problem:
[mm] E(\bruch{c}{n}\summe_{i=1}^{n}|X_{i}-\mu|)
[/mm]
[mm] =\bruch{c}{n}\summe_{i=1}^{n} E(|X_{i}-\mu|)
[/mm]
Ich weiß leider nciht, wie ich den Erwartungswert von dem Betrag berechnen soll. Ich habe es mit der Fallunterscheidung [mm] X_{i} \ge \mu [/mm] und [mm] X_{i} [/mm] < [mm] \mu [/mm] versucht, jedoch hatte ich dann für die Erwartungswerte Null raus, was ja nciht sein kann, da ich den Erwartungswert gleich [mm] \sigma [/mm] setzen soll, um c zu erhalten.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße
Julsch
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:28 Di 11.05.2010 | | Autor: | julsch |
Ich habe mich jetzt erstmal mit den anderen Aufgabenteilen beschäftigt. Aufgabe c) und d) habe ich schon fertig. Aufgabe e) hab ich auch eine Lösung, weiß jedoch nicht genau, ob ich es so machen kann. Sitze jetzt gerade über Aufgabenteil f).
zu e):
[mm] T_{2} [/mm] ist [mm] Gamma(\bruch{n}{2}, \bruch{n}{2\sigma^{2}})
[/mm]
[mm] E(T_{2}) [/mm] = [mm] \sigma^_{2}
[/mm]
[mm] Var(T_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{2\sigma^{4}}{n}
[/mm]
Dann folgt aus dem ZGS:
[mm] \bruch{T_{2} - \sigma^{2}}{\wurzel{\bruch{2\sigma^{4}}{n}}} [/mm] ist N(0,1) verteilt
Daraus folgt dann, dass [mm] T_{2} AN(\sigma^{2}, \bruch{2\sigma^{4}}{n}) [/mm] verteilt ist.
ist das so richtig?
zu f):
Ich soll ja nun die Verteilung von [mm] \wurzel{T_{2}} [/mm] bestimen. Mehr oder weniger würde ich es mit dem Verfahren von e) machen, d.h. Erwartungswert und Varianz berechnen und dann den ZGS anwenden. Beim berechnen des Erwartungswertes hab ich jedoch schon ein Problem.
[mm] E(\wurzel{T_{2}})=\bruch{1}{\wurzel{n}}E(\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}}) [/mm] und hier fängt mein Problem an. Wie berechne ich den Erwartungswert von einer Wurzel?
Liebe Grüße
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 11.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Seien [mm]X_{1},...X_{n}[/mm] unabhängige ZV mit [mm]x_{i} \sim N(\mu,\sigma^{2})[/mm]
> (i=1,...,n) für einen bekannten Parameter [mm]\mu[/mm] und einen
> unbekannten Parameter [mm]\sigma^{2} \in (0,\infty).[/mm]
> a)
> Bestimmen Sie eine Konstante c [mm]\in \IR,[/mm] so dass [mm]T_{1} =\bruch{c}{n}\summe_{i=1}^{n}|X_{i}[/mm]
> - [mm]\mu|[/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für [mm]\sigma[/mm] ist.
> b) Berechnen Sie die Risikofunktion von [mm]T_{1}.[/mm]
> c) Zeigen Sie, dass
> [mm]t_{2}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}[/mm] ein
> erwartungstreuer Schätzer für [mm]\sigma^{2}[/mm] ist.
> d) Bestimme die Verteilung von [mm]T_{2}.[/mm]
> e) Zeigen Sie, dass [mm]T_{2} \sim AN(\sigma^{2}, \bruch{2\sigma^{4}}{n})[/mm]
> gilt.
> f)Bestimmen Sie die asymptotische Verteilung von
> [mm]T_{3}=\wurzel{T_{2}}.[/mm]
> g) Vergleichen Sie die Schätzer [mm]T_{1}[/mm] und [mm]T_{3}.[/mm]
> Hallo!
> Ich habe mich an Aufgabe a gesetzt und stoße da auf ein
> kleines Problem.
> Ich muss ja den Erwartungswert von [mm]T_{1}[/mm] bestimmen und
> dann gleich [mm]\sigma[/mm] setzen, um c zu erhalten. Beim Bestimmen
> des Erwartungswertes habe ich schon ein Problem:
> [mm]E(\bruch{c}{n}\summe_{i=1}^{n}|X_{i}-\mu|)[/mm]
> [mm]=\bruch{c}{n}\summe_{i=1}^{n} E(|X_{i}-\mu|)[/mm]
> Ich weiß
> leider nciht, wie ich den Erwartungswert von dem Betrag
> berechnen soll. Ich habe es mit der Fallunterscheidung
> [mm]X_{i} \ge \mu[/mm] und [mm]X_{i}[/mm] < [mm]\mu[/mm] versucht, jedoch hatte ich
> dann für die Erwartungswerte Null raus, was ja nciht sein
> kann, da ich den Erwartungswert gleich [mm]\sigma[/mm] setzen soll,
> um c zu erhalten.
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Liebe Grüße
> Julsch
Es gilt [mm] |X|=2*1_{\{X\ge 0\}}*X-X [/mm] und deswegen
[mm] E(|X|)=2*E(1_{\{X\ge 0\}}*X)-E(X)
[/mm]
und wenn wie hier [mm] X\sim N(0,\sigma^2) [/mm] gilt, weil [mm] X=N(\mu,\sigma^2)-\mu, [/mm] dann ist [mm] E(|X|)=2*E(1_{\{X\ge 0\}}*X)=2\integral_0^{\infty}xn_{0,\sigma^2}(x)dx
[/mm]
LG
gfm
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