endlicher körper mit 9 element < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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servus
ich soll ein primitives element und dessen minimalpolynom im körper mit 9 elementen bestimmen.
soweit die aufgabe.
ich hab mich also rangemacht und zu allererst mal die elemente des körpers bestimmt; da [mm] $9=3^2$ [/mm] primzahlpotenz, ist [mm] $F_9=\left\{ax+b|a,b \in Z_3\right\}$
[/mm]
demnach [mm] $F_9=\left\{0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2\right\}$
[/mm]
soweit, so gut.
nun haben mich einige postings auf der seite verwirrt bzw eine passage in meinem diskrete mathe skriptum: hier wird [mm] $F_9$ [/mm] als Körper über [mm] $Z_3/(x^2+1)$ [/mm] konstuiert, da [mm] $x^2+1$ [/mm] irreduzibel mod 3.
erste zwischenfrage: ist die wahl des polynoms [mm] $x^2+1$ [/mm] eingebung oder beruht sich auf folgendem sachverhalt, der sich im skript so darstellt:
hier wird gesagt, dass man den konkreten 9-elementigen körper konstruiert, indem man das polynom [mm] $x^9-x$ [/mm] über [mm] $Z_3$ [/mm] zerlegt, zb mit dem allseits beliebten berlekamp. die nullstellen des faktorisierten polynomes, also der zerfällungskörper, sind die elemente des körpers, so sie a) irreduzibel (nach berlekamp immer der fall) und b) linear sind, ggfs ist hier noch ein erweiterungskörper zu konstruieren (das wird meine nächste zwischenfrage  )
mein mupad spuckt folgende faktorisierung aus (kann ich auch von hand ;) ):
[mm] $x^9-x=x(x-1)(x+1)(x^2+x-1)(x^2-x-1)(x^2+1)$
[/mm]
mit der ominösen nullstelle [mm] $x^2+1$ [/mm] als letztem faktor. zurück zur zwischenfrage: nimmt man das polynom [mm] $x^2+1$ [/mm] deswegen als hauptideal oben?
weiter: die letzten drei faktoren sind ja nicht linear. also müssen wir wohl oder übel weiterzerlegen. also einen erweiterungskörper bilden. wie geht das jetzt konkret? kann da irgendwie wenig zu finden und mir nicht viel drunter vorstellen. nehme ich jetzt einfach eine irreduzible, nicht lineare nullstelle, zb also mein polynom [mm] $x^2+1$, [/mm] und bilde einfach von allen anderen faktoren nochmal den rest mod diesem polynom?
hätte dann alles in allem folgende elemente schonmal: [mm] $\left\{0,x,x-1,x+1,2x+1\right\}$
[/mm]
die elemente $1,2$ bekomme ich, wenn ich $x+1$ bzw $x-1$ gleich null setze. aber das ist mir etwas dubios, zumal mir dann zu den neun elementen noch $2x$ sowie $2x+2$ fehlen.
das klärt sich aber eigentlich, wenn man beachtet, dass die summe/das produkt zweier nullstellen wieder eine nullstelle gibt; aber das geht ja dann wieder in richtung des bildungsgesetzes [mm] $F_9=\left\{ax+b|a,b \in Z_3\right\}$, [/mm] oder nicht?? und das muss doch auch irgendwie "direkt" gehen über diesen erweiterungskörper, den ich einfach null raffe.
so, ganz schön viel text für mein erstes posting, ich hoffe, dass irgendjemand versteht, was ich meine und wo mein problem ist ;)
die eigentliche aufgabe sollte kein problem sein denk ich mal, wenn doch, jammer ich an geeigneter stelle weiter, es geht mir nur erstmal um das verständnis der erweiterungskörper..
danke und gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi nochmal
habe zwischenzeitlich ein wenig an der eigentlichen aufgabenstellung gearbeitet und hoffe, dass meine lösung sinn macht, die ich hiermit zur diskussion stelle (nickt mal bitte jemand ab..)
[mm] $F_9=\left\{0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2\right\}$
[/mm]
Satz: Sei p prim. $a [mm] \in Z_p-\left\{0\right\}$ [/mm] heißt primitiv, genau dann wenn [mm] $a^{{p-1} \over q} \neq [/mm] 1 \ \ [mm] \forall$ [/mm] Primfaktoren q von p-1.
(die potenzen primitiver elemente durchlaufen alle elemente des körpers)
man probiert nun also sequentiell alle elemente durch:
dabei ist p=9 (weil wir in [mm] $F_9$ [/mm] sind, und nicht etwa p=3 wegen [mm] $Z_3/(x^2+1)$?? [/mm] also gilt obiger satz allgemein auch für körper??) und q=2
also a primitiv gdw [mm] $a^4 \neq [/mm] 1$
[mm] $1^4=1$, [/mm] 1 KEIN prim.element
[mm] $2^4=1$, [/mm] 2 KEIN prim.element
[mm] $x^4=(x^2+1)x^2-x^2=2x^2=x^2+x^2+1+1-2=1$, [/mm] KEIN prim.element
(umformungen jeweils wegen [mm] $x^2+1=0$)
[/mm]
[mm] $(x+1)^4=(x^2+2x+1)^2=4x^2=x^2+1-1=-1=2 \neq [/mm] 1$, PRIM.ELEMENT
[mm] $(x+2)^4=(x^2+4x+4)^2=(x^2+x+1)^2=x^2+1-1=-1 \neq [/mm] 1$, PRIMELEMENT
[mm] $(2x)^4=x^4=1$, [/mm] KEIN prim.element
[mm] $(2x+1)^4=(4x^2+4x+1)^2=16x^2=x^2=2 \neq [/mm] 1$, PRIM.ELEMENT
[mm] $(2x+1)^4=(4x^2+8x+4)^2=x^2+1-1 \neq [/mm] 1$, PRIM.ELEMENT
meine primitiven elemente lauten also x+1, x+2, 2x+1, 2x+2. habe mal angefangen, mit x+1 durchzuprobieren, ob es wirklich alle körperelemente durchläuft, schien der fall zu sein und so hab ich schnell aufgehört. :)
jetzt also noch die jeweiligen minimalpolynome:
ein minimalpolynom g erkennt man daran:
1. es hat minimalen grad
2. es gilt $g(a)=0$ für das jeweilige körperelement a
3. es teilt [mm] $x^q-x$
[/mm]
da kommen ja bei mir nur die polynome $x, x+1, x+2, [mm] x^2+x-1, x^2-x-1. x^2+1$ [/mm] in frage, aus der faktorisierung meines ausgangspolynoms;
die ersten drei kann man ausschliessen, die anderen probiert man durch (haben die wirklich minimalen grad? ja, weil sie ja nicht weiter zerlegbar sind, oder nein, weil sie ja noch nicht linear sind und im erweiterungskörper weiter zerfallen?? denke mal "ja", also mach ich weiter:)
[mm] $f_1(x):=x^2+x-1$
[/mm]
[mm] $f_1(x+1)=x^2+2x+1+x+1-1=x^2+3x+1=0$, [/mm] also [mm] $g_1(x)=x^2+x-1$ [/mm] ist minimalpolynom des primitiven elements [mm] $p_1=x+1$
[/mm]
analog [mm] $g_2(x)=x^2-x-1$ [/mm] minimalpolynom von [mm] $p_2=x+2$
[/mm]
[mm] $g_3(x)=x^2+x-1$, $p_3=2x+1$
[/mm]
[mm] $g_4(x)=x^2-x-1$, $p_4=2x+2$
[/mm]
ich traue halt meiner eigenen lösung nicht so, weil mir das theoretische fundament fehlt, wie gesagt.. wäre lustig, wenn man das lösen könnte, ohne wirklich zu wissen, was ein erweiterungskörper ist.. hm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Di 28.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich soll ein primitives element und dessen minimalpolynom
> im körper mit 9 elementen bestimmen.
> soweit die aufgabe.
> Ich versuche mal ein paar Gedanken weiterzuspinnen / zu Erörtern.
> ich hab mich also rangemacht und zu allererst mal die
> elemente des körpers bestimmt; da [mm]9=3^2[/mm] primzahlpotenz, ist
> [mm]F_9=\left\{ax+b|a,b \in Z_3\right\}[/mm]
Was soll das x denn jetzt sein? Die Nullstelle des Minalpolynoms? Ein Teil der Basis? Also: [m]\IF_3=\IZ_3[/m], und in deinem [m]\IF_9[/m] liegt dieser als Primkörper drin. Die Dimension dieses Körpers über dem Grundkörper ist dann offenbar 2.
> demnach [mm]F_9=\left\{0,1,2,x,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2\right\}[/mm]
Falls x eine adjungierte Nullstelle ist, sollte das richtig sein ... (Es sind einfach alle Elemente durch die Basis ausgedrückt.)
> soweit, so gut.
> nun haben mich einige postings auf der seite verwirrt bzw
> eine passage in meinem diskrete mathe skriptum: hier wird
> [mm]F_9[/mm] als Körper über [mm]Z_3/(x^2+1)[/mm] konstuiert, da [mm]x^2+1[/mm]
> irreduzibel mod 3.
Es ist eher [mm]Z_3[X]/(x^2+1)[/mm]! So konstruiert man Körper: ist ein Polynom irreduzibel über Polyring dieses Körpers ([m]\IZ_3[/m] ist ein Körper!), so dividiert man das maximale Ideal, das von diesem Polynom erezeugt wird heraus, und erhält wieder einen Körper, der eine Nullstelle dieses Polynoms enthält - und weiter: die Dimension dieses neuen Körpers über den Grundkörper ist genau der Grad des (Minimal)polynoms. Auch geht das manchmal andersrum: finde zu der Dimension ein passendes Minimalpolynom.
> erste zwischenfrage: ist die wahl des polynoms [mm]x^2+1[/mm]
> eingebung oder beruht sich auf folgendem sachverhalt, der
> sich im skript so darstellt:
Also: du weisst ja aus obigen zwei Sachen: Der Körper hat Dimension 2 über [m]\IF_3[/m], und wenn man ein irreduz. Polynom mit Grad 2 herausdividert, enthält man einen Körper mit Dimension 2. Insofern könnte man mal einfach ausprobiern.,
> hier wird gesagt, dass man den konkreten 9-elementigen
> körper konstruiert, indem man das polynom [mm]x^9-x[/mm] über [mm]Z_3[/mm]
> zerlegt, zb mit dem allseits beliebten berlekamp.
Damit kenne ich mich nicht so gut aus, sorry.
> die
> nullstellen des faktorisierten polynomes, also der
> zerfällungskörper, sind die elemente des körpers, so sie a)
> irreduzibel (nach berlekamp immer der fall) und b) linear
> sind, ggfs ist hier noch ein erweiterungskörper zu
> konstruieren (das wird meine nächste zwischenfrage )
Wohl konstruiert man einen Zerfällungskörper, oder?
> mein mupad spuckt folgende faktorisierung aus (kann ich
> auch von hand ;) ):
> [mm]x^9-x=x(x-1)(x+1)(x^2+x-1)(x^2-x-1)(x^2+1)[/mm]
>
> mit der ominösen nullstelle [mm]x^2+1[/mm] als letztem faktor.
Wieso ominös? Hier taucht es doch quasi schön auf: ein Polynom vom Grad 2, das im Zerfällungskörper sicher zerfällt, aber nicht im Grundkörper.
> zurück zur zwischenfrage: nimmt man das polynom [mm]x^2+1[/mm]
> deswegen als hauptideal oben?
Es ist halt irreduzibel und vom Grad 2 ...
> weiter: die letzten drei faktoren sind ja nicht linear.
> also müssen wir wohl oder übel weiterzerlegen. also einen
> erweiterungskörper bilden. wie geht das jetzt konkret?
Durch rausdivideren dieser Ideale - das ist die normale Konstruktion.
> kann
> da irgendwie wenig zu finden und mir nicht viel drunter
> vorstellen. nehme ich jetzt einfach eine irreduzible, nicht
> lineare nullstelle, zb also mein polynom [mm]x^2+1[/mm], und bilde
> einfach von allen anderen faktoren nochmal den rest mod
> diesem polynom?
Ich vestehe hier nicht, was du machen willst.
> hätte dann alles in allem folgende elemente schonmal:
> [mm]\left\{0,x,x-1,x+1,2x+1\right\}[/mm]
>
> die elemente [mm]1,2[/mm] bekomme ich, wenn ich [mm]x+1[/mm] bzw [mm]x-1[/mm] gleich
> null setze. aber das ist mir etwas dubios, zumal mir dann
> zu den neun elementen noch [mm]2x[/mm] sowie [mm]2x+2[/mm] fehlen.
???
> das klärt sich aber eigentlich, wenn man beachtet, dass die
> summe/das produkt zweier nullstellen wieder eine nullstelle
> gibt;
also im Allgemeinen ist das doch falsch. Gilt das hier etwa?
> so, ganz schön viel text für mein erstes posting, ich
> hoffe, dass irgendjemand versteht, was ich meine und wo
> mein problem ist ;)
Hmm, siehe oben, dann sag mir, ob das hilft.
> die eigentliche aufgabe sollte kein problem sein denk ich
> mal, wenn doch, jammer ich an geeigneter stelle weiter, es
> geht mir nur erstmal um das verständnis der
> erweiterungskörper..
Erweiterungskörper oder gleich Zerfällungskörper?
SEcki
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