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Hallo!
Kann mir jemand erklären, was genau der Körper [mm] \IF_{9} [/mm] ist? Das habe ich bis jetzt in der Uni nicht gemacht! Allerdings muss ich jetzt folgende Aufgabe dazu lösen:
Stellen Sie den endlichen Körper [mm] \IF_{9} [/mm] mit neun Elementen als einen Quotienten [mm] \IZ_{3} [/mm] / (f) mit irreduziblem f [mm] \in \IZ_{3}[x] [/mm] vom Grad zwei dar und berechnen Sie die Multiplikationstabelle von [mm] \IF_{9} [/mm] .
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Hallo!
Grundsätzlich verwendet man die Notation [mm] $\IF_p$ [/mm] für den (bis auf Isomorphie) eindeutigen Körper, der $p$ Elemente enthält, dabei muss $p$ eine Primzahlpotenz sein. Falls $p$ prim ist, ist dieser isomorph zu [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] ist.
Das ist natürlich nicht besonders anschaulich, worum geht's also wirklich: Letztlich sind z.B. in [mm] $\IF_2$ [/mm] die Elemente $0$ und $1$. Bei Addition und Multiplikation verwendet man dann aber die Rechnung "modulo 2", also:
$1+1=2=0\ [mm] \mathrm{mod}\ [/mm] 2$, dehalb ist in [mm] $\IF_2$ [/mm] $1+1=0$.
Warum ist das nur so für Primzahlen $p$? Weil ansonsten [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] kein Körper ist. Betrachte zum Beispiel [mm] $\IZ/4\IZ$. [/mm] Dann ist $2*2=0$. Da aber für einen Körper [mm] $\IK$ [/mm] gilt, dass [mm] $\IK\setminus\{0\}$ [/mm] eine Gruppe bzgl $*$ ist, muss [mm] $2*2\in\{1,2,3\}$ [/mm] sein. Ein Widerspruch.
Kommst du jetzt bei deiner Aufgabe weiter?
Gruß, banachella
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Also ist der Körper [mm] \IF_{p} [/mm] genau der gleiche wie der Körper [mm] \IZ_{p} [/mm] ? Rechnet man dann in [mm] \IF_{9} [/mm] mit modulo 9?
Den Körper [mm] \IZ_{p} [/mm] hatte ich schon! Dachte, da gibt es dann Unterschiede!
Aber auch wenn ich das jetzt weiß, habe ich meine Probleme mit der Aufgabe! Kannst du mir vielleicht 'nen Tipp geben? Eiegntlich verstehe ich kaum, was genau ich machen soll... :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also für primes $p$ kennst du die Körper schon, es sind deine gewohnten [mm] $\IZ/p\IZ$.
[/mm]
Wie aber sieht es für Körpern mit Primpotenzordnung [mm] $p^n$ [/mm] aus?
Hat man einen solchen Körper [mm] $\IF_{p^n}$, [/mm] so kann man ihn als $n$-dimensionalen Vektorraum über dem Körper [mm] $\IF_p=\IZ/p\IZ$ [/mm] auffassen. Oder als Faktorring von [mm] $\IF_p[X]$ [/mm] modulo einem irreduziblen Polynom in [mm] $\IF_p[X]$. [/mm]
Die genaue Theorie solltest du dir in einem Algebrabuch aneignen oder im Internet unter der Suche mit Stichworten wie "endliche Körper" oder "Adjunktion". (Sollte ich auch mal wieder tun...  )
In deinem speziellen Fall gilt, falls mich nicht alles täuscht:
[mm] $\IF_9 \cong \IF_3[X]/(X^2+1)$,
[/mm]
denn [mm] $p(X)=X^2+1$ [/mm] ist in [mm] $\IF_3[X]$ [/mm] irreduzibel und hat den Grad $2$, so dass [mm] $\IF_3[X]/(X^2+1)$ [/mm] ein Körper mit [mm] $3^2=9$ [/mm] Elementen ist.
Viele Grüße
Julius
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Danke! Ich denke, das hilft mir weiter! Muss ich mir einfach mal genau angucken!
Noch eine letzte Frage: Enthält [mm] \IF_{9} [/mm] die Elemente 0 - 8 und wird dort mit modulo 9 gerechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Noch eine letzte Frage: Enthält [mm]\IF_{9}[/mm] die Elemente 0 -
> 8 und wird dort mit modulo 9 gerechnet?
Nein!!! [mm] $\IF_9$ [/mm] hat auch die Charakteristik $3$, d.h. es gilt: $1+1+1=0$.
Wie gesagt: [mm] $\IF_9$ [/mm] kann man als zweidimensionalen Vektorraum über [mm] $\IF_3$ [/mm] auffassen. Sei [mm] $(1,\xi)$ [/mm] eine Basis. Dann gilt:
$1+1+1=0$,
also:
$x+x+x=0$ für alle $x [mm] \in \IF_9$,
[/mm]
und jedes $x [mm] \in \IF_9$ [/mm] lässt sich (eindeutig) so darstellen:
$x = a [mm] \cdot [/mm] 1 + b [mm] \cdot \xi$ [/mm] ,
mit gewissen $a,b [mm] \in \IF_3$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Und wie erstellt man dann in [mm] \IF_{9} [/mm] eine Multiplikationstabelle?
Tut mir echt leid, dass ich das irgendwie nicht kapiere und so viel fragen muss... :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Beachte bitte zunächst, dass ich meine letzte Antwort korrigiert habe, dort hatte sich ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen.
Ich würde so vorgehen (auf die Gefahr hin, dass ich mich blamiere):
Rechne einfach in [mm] $\IF_3[X]/(X^2+1)$.
[/mm]
Die $9$ Elemente sind dann die Restklassen von
$01,2,X,X+1,X+2,2X,2X+1,2X+2$,
und die kannst du einfach wie Polynome multiplizieren unter Beachtung von [mm] $X^2+1=0$.
[/mm]
Beispiel:
$X [mm] \cdot [/mm] (X+1) = [mm] X^2+X [/mm] = [mm] (X^2+1) [/mm] + (X-1) = X-1 = X+2$,
denn der zugrundeliegende Körper ist ja [mm] $\IF_3$.
[/mm]
Anderes Beispiel:
$(2X+1) [mm] \cdot [/mm] (2X+2) = [mm] 4X^2 [/mm] + 4X+2X + 2 = [mm] X^2+2 [/mm] = [mm] X^2+1+1=1$.
[/mm]
Ich hoffe das stimmt alles so.  Probiere es mal aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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Tausend Dank für deine Mühe und deine Hilfe!
Jetzt müsste ich das hinbekommen!
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