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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 So 26.11.2006 | | Autor: | feri |
Einem Polynom p
aus k[X] ordnen wir die Abbildung Π(p) ∈ Abb(k, k) zu,
die durch die Abbildungsvorschrift 'Π(p)(y) := P(y)
definiert ist.
wie kann man zeigen, dass fuer einen endlichen Körper k der Ringhomomorphismus '
nicht injektiv ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo feri,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Einem Polynom p
> aus k[X] ordnen wir die Abbildung Π(p) ∈ Abb(k,
> k) zu,
> die durch die Abbildungsvorschrift 'Π(p)(y) := P(y)
> definiert ist.
>
> wie kann man zeigen, dass fuer einen endlichen Körper k der
> Ringhomomorphismus '
> nicht injektiv ist.
Man muss sich hier klar machen, dass der Polynomring k[X] aus "formalen" Polynomen besteht, von denen jedes durch die Liste der Koeffizienten festgelegt ist.
So gibt es selbst bei einem endlichen Körper k unendliche viele Polynome in k[X], z.B. diese hier
[mm] $1*X^1$
[/mm]
[mm] $1*X^2$
[/mm]
[mm] $1*X^3$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
In $Abb(k,k)$, also der Zielmenge des Ringhomomorphismus [mm] $\phi$, [/mm] gibt es aber bei einem endlichen Körper k nur endlich viele Elemente, denn es gibt nur endlich viele Abbildungen in Abb(k,k) (nämlich genau [mm] ${\operatorname{card}(k)}^{\operatorname{card}(k)}$ [/mm] Stück). Eine Abbildung mit einer unendlichen Quell- aber nur endlichen Zielmenge kann nicht injektiv sein (die Elemente der Zielmenge dürfen bei einer injektiven Abbildung ja nicht mehrfach getroffen werden...)
Das ist, denke ich, eine ganz gute Vorüberlegung zum Verständnis der Aussage/Aufgabe, die aber so formuliert nicht als Beweis dient. Zum Beweis versuche doch mal, zu einen Körper k der Kardinalität n (also [mm] $\operatorname{card}(k)=n$) [/mm] zwei verschiedene formale Polynome in k[X] zu finden, die aber als Abbildung identisch sind...
Schau' Dir mal den kleinen Fermatschen Satz an, da sollte Dir die richtige Idee kommen... 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mo 27.11.2006 | | Autor: | feri |
Danke für die Erklärungen!
also, kann man sagen ,da für jeden endlichen Körper eine Primzahl p existiert, sodass [mm] card(k)=p^q [/mm] (q aus N)
und außerdem für alle x aus k, gilt: [mm] x^q=x
[/mm]
dann kann ich zwei polynomen, nämlich x+1 <=> [mm] x^q+1 [/mm] aus k[X] wählen
und dann habe ich:
[mm] PI(x+1)(r)=PI(x^q+1)(r) [/mm] denn [mm] r+1=r^q+1
[/mm]
kann man das so beweisen??!!
bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe!!!:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 28.11.2006 | | Autor: | Kawi |
Hi,
ich wollte nur wissen, ob diese Überlegung von feri korrekt ist....für mich klingt es logisch, bin mir aber nicht sicher...
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Di 28.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Kawi
Die Ueberlegung von feri stimmt.
Die Polynome [mm] $X^n$ [/mm] und $X$ wobei [mm] $n=\mathrm{card}(K)$ [/mm] erzeugen dieselbe Abbildung.
mfG Moudi
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