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| Aufgabe | rechne mit endlichen summen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} 2^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1} [/mm] |
hallo.....hab schon alles versucht, komme aber nicht auf sad richtige ergebnis!!
richtiges ergebnis soll sein: [mm] 2^{n}-1
[/mm]
mein ansatz:
[mm] \summe_{k=1}^{n} 2^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}
[/mm]
wegen indexverschiebung
jetzt kann ich die geometrische summenformel anwenden: [mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i} [/mm] = [mm] \bruch{(1-a^{n})}{(1-a)}
[/mm]
also: [mm] \bruch{1-2^{n}}{1-2}-\bruch{1-2^{n-1}}{1-2}=2^{n}-1-\bruch{2^{n}}{2}+1=\bruch{1}{2}2^{n}
[/mm]
das ist aber nicht das richtige ergebnis!
könnt ihr mir bite helfen
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:30 Fr 29.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> rechne mit endlichen summen:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm]
>
> hallo.....hab schon alles versucht, komme aber nicht auf
> sad richtige ergebnis!!
>
> richtiges ergebnis soll sein: [mm]2^{n}-1[/mm]
>
>
> mein ansatz:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}[/mm]
>
> wegen indexverschiebung
Korrekt.
jetzt kannst du die Summen in einer Summe schreiben.
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} -\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] - [mm] 2^{k}
[/mm]
Entweder sieht man jetzt schon, dass alles ausser [mm] 2^{n} [/mm] und -1 "heraussubtrahiert" wird.
Sonst
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] - [mm] 2^{k}
[/mm]
[mm] =\red{2^{1}}-\green{2^{0}}+\red{2²}\red{-2^{1}}+2³\red{-2²}+\ldots+\red{2^{n-1}}-2^{n-1-1}+\green{2^{n-1+1}}\red{-2^{n-1}}.
[/mm]
Es bleiben jetzt nur noch die grünen Terme [mm] \underbrace{2^{n+1+1}}_{=2^{n}}-\underbrace{2^{0}}_{=1} [/mm] übrig.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Sa 30.09.2006 | | Autor: | ullim |
> Hallo
>
> > rechne mit endlichen summen:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm]
> >
> > hallo.....hab schon alles versucht, komme aber nicht auf
> > sad richtige ergebnis!!
> >
> > richtiges ergebnis soll sein: [mm]2^{n}-1[/mm]
> >
> >
> > mein ansatz:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm] =
> > [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}[/mm]
> >
> > wegen indexverschiebung
>
> Korrekt.
>
Die letzte Summe ist nicht richtig, sondern [mm] \summe_{k=2}^{n-1} 2^{k} [/mm] währe richtig. Daraus sieht man auch sofort, das die ersten beiden Terme der ersten Summe übrigbleiben, also [mm] 2+2^n.
[/mm]
> jetzt kannst du die Summen in einer Summe schreiben.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} -\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]2^{k}[/mm]
>
> Entweder sieht man jetzt schon, dass alles ausser [mm]2^{n}[/mm] und
> -1 "heraussubtrahiert" wird.
> Sonst
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]2^{k}[/mm]
>
> [mm]=\red{2^{1}}-\green{2^{0}}+\red{2²}\red{-2^{1}}+2³\red{-2²}+\ldots+\red{2^{n-1}}-2^{n-1-1}+\green{2^{n-1+1}}\red{-2^{n-1}}.[/mm]
>
>
> Es bleiben jetzt nur noch die grünen Terme
> [mm]\underbrace{2^{n+1+1}}_{=2^{n}}-\underbrace{2^{0}}_{=1}[/mm]
> übrig.
>
> Marius
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Hiho,
im Endeffekt wurde ja im vorigen Post alles schon erklärt (bis auf die letzte Zeile, die eigentlich [mm] 2^{n+1-1} [/mm] - [mm] 2^0 [/mm] heissen müsste ;)
Nun noch zu deinem Fehler: Die geometrische Summenformel gilt nur für a<1 und da 2 nicht kleiner 1 ist, kannst du die dann leider nicht anwenden.
Gruß,
Gono.
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aber wieso kann man die geometrische summe nur für a<1 anwenden??
vor allem steht das nirgendwo!!! es steht immer nur für [mm] a\not=1
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Fr 29.09.2006 | | Autor: | riwe |
soweit ich mich erinnern, kann gilt sie auch für a > 1, nur divergiert sie für n [mm] \to\infty
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 29.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> aber wieso kann man die geometrische summe nur für a<1
> anwenden??
> vor allem steht das nirgendwo!!! es steht immer nur für
> [mm]a\not=1[/mm]
Du kannst sie anwenden. Probleme gibt es nur beim Grenzwert.
Nun noch mal zu deiner Rechnung:
> mein ansatz:
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n} 2^{k} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1} [/mm] > $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k} [/mm] $
> wegen indexverschiebung
Kann es sein, dass du bei der Aufgabenstellung einen Tippfehler hast? Diese Indexverschiebung kann ich nicht ganz nachvollziehen.
jetzt kann ich die geometrische summenformel anwenden: $ [mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(1-a^{n})}{(1-a)} [/mm] $
Die Formel ist
$ [mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(1-a^{n+1})}{(1-a)} [/mm] $
> also: $ [mm] \bruch{1-2^{n}}{1-2}-\bruch{1-2^{n-1}}{1-2}=2^{n}-1-\bruch{2^{n}}{2}+1=\bruch{1}{2}2^{n} [/mm] $
Hier achtest du auch nicht sorgfältig genug auf die Unterschiede zur Formel.
$ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k} [/mm] $
$ = 2 [mm] \cdot \bruch{1-2^{n}}{1-2}-\bruch{1-2^{n}}{1-2}= [/mm] 2 [mm] \cdot (2^{n}-1)-2^{n}+1=2^n [/mm] - 1 $
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Fr 29.09.2006 | | Autor: | ullim |
Hi LooZander,
[mm] \sum_{k=1}^{n} 2^k [/mm] - [mm] \sum_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}=2+2^n
[/mm]
Also entweder ist in Deiner Aufgabenstrellung ein Fehler oder in Deiner Musterlösung.
mfg ullim
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