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endliche Körper: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 So 20.01.2013
Autor: Klerk91

Aufgabe
Sehe ich das richtig, dass endliche Körper der Ordnung [mm] p^n [/mm] immer isomorph sind zu den Lösungen der Gleichungen:
[mm] x^{p^n}-x=0 [/mm] ich meine 0 liegt drin, 1 liegt drin und abgeschlossen unter inversenbildung bzg. + und * ist es auch.

Ist es daher richtig, dass diese isomorphie stets gilt?

        
Bezug
endliche Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 So 20.01.2013
Autor: felixf

Moin!

> Sehe ich das richtig, dass endliche Körper der Ordnung [mm]p^n[/mm]
> immer isomorph sind zu den Lösungen der Gleichungen:
>  [mm]x^{p^n}-x=0[/mm] ich meine 0 liegt drin, 1 liegt drin und
> abgeschlossen unter inversenbildung bzg. + und * ist es
> auch.

Solange du das in einem gross genugen Koerper der Charakteristik $p$ betrachtest (etwa einem algebraisch abgeschlossenen; schliesslich muss es [mm] $p^n$ [/mm] verschiedene Loesungen geben), stimmt das.

>  Ist es daher richtig, dass diese isomorphie stets gilt?  

Wie gesagt: du brauchst Charakteristik $p$, andernfalls bringt dir das nichts. Die Loesungen von [mm] $x^{2^2} [/mm] - x = 0$ in [mm] $\IC$ [/mm] liefern dir keinen Koerper mit 4 Elementen, da es allein schon bzgl. $+$ nicht abgeschlossen ist.

LG Felix


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