endliche Gruppe, neutr. Elemen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:58 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.
Zeigen Sie, dass es für alle a [mm] \in [/mm] G ein n [mm] \in \IN_{>0} [/mm] mit [mm] a^{n} [/mm] = e gibt. |
Guten Tag,
mir fehlt bei dieser Aufgabe jeglicher Ansatz. Ich habe überlegt, ob dies vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis zu zeigen ist. Allerdings weiß ich nicht wie ich da ran gehen soll. Freue mich, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
LG Loriot95
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Nun mir ist etwas eingefallen. Angenommen es gilt: [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{>0}: a^{n} \not= [/mm] e. Da G endlich ist, ist |G| < [mm] \infty. [/mm] Wenn ich nun n:= |G| setze und [mm] a^{n} [/mm] betrachte, so muss [mm] a^{n}, a^{n-1},...., a^{1} [/mm] schon die gesamte Gruppe sein. Da eine Gruppe bezüglich ihrer Operation abgeschlossen ist. Dann gäbe es aber gar kein neutrales Element in G und das wäre ja ein Widerspruch. Voraussgestzt a [mm] \not= [/mm] e. Ist das der richtige Weg? Falls ja, wie zeigt man das nun geschickt oder reicht das schon?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Do 14.04.2011 | | Autor: | wauwau |
dein überlegung ist nicht ganz richtig es könnten ja mehrer [mm] $a^{n_i}$ [/mm] gleich sein. Aber genau das ist Basis des richtigen Beweises
Wenn alle [mm] $a^n \ne [/mm] e$ sind
dann gibt es $r<s [mm] \le [/mm] n$ mit [mm] $a^r=a^s$
[/mm]
daraus würde aber folgen: [mm] $a^{s-r}.a^r [/mm] = [mm] a^{s-r}a^s=a^s$
[/mm]
danach wäre aber [mm] $a^{s-r} [/mm] = e$ also ein Widerspruch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Stimmt. Da war der Denkfehler. Danke dir.
LG Loriot95
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