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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - endlich erzeugte R-Moduln
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endlich erzeugte R-Moduln: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Di 05.08.2014
Autor: DrRiese

Aufgabe
Sei R ein Integritätsbereich und 0 [mm] \not= [/mm] f [mm] \in [/mm] R keine Einheit.
Zeigen Sie, dass [mm] R[\bruch{1}{f}] [/mm] kein endlich erzeugter R-Modul ist.

Hallo, beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe. Bin mir aber nicht wirklich sicher. Meine Gedanken hierzu wären:
Da [mm] R[\bruch{1}{f}] [/mm] ein Ring [mm] \Rightarrow \bruch{1}{f^{2}} \in R[\bruch{1}{f}] [/mm] aufgrund der Ringmultiplikation.
Jedoch kann [mm] \bruch{1}{f^{2}} [/mm] nicht durch [mm] \bruch{1}{f} [/mm] mit Koffizienten aus R erzeugt werden, also ist [mm] \bruch{1}{f^{2}} [/mm] auch im Erzeugendensystem vom R-Modul [mm] R[\bruch{1}{f}]. [/mm] Ebenso [mm] \bruch{1}{f^{n}}, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Also Erzeugendensystem von [mm] R[\bruch{1}{f}] [/mm] unendlich.

Wäre das so ok? :-)

Liebe Grüße
DrRiese

        
Bezug
endlich erzeugte R-Moduln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Di 05.08.2014
Autor: hippias


> Sei R ein Integritätsbereich und 0 [mm]\not=[/mm] f [mm]\in[/mm] R keine
> Einheit.
>  Zeigen Sie, dass [mm]R[\bruch{1}{f}][/mm] kein endlich erzeugter
> R-Modul ist.
>  Hallo, beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe. Bin mir
> aber nicht wirklich sicher. Meine Gedanken hierzu wären:
> Da [mm]R[\bruch{1}{f}][/mm] ein Ring [mm]\Rightarrow \bruch{1}{f^{2}} \in R[\bruch{1}{f}][/mm]
> aufgrund der Ringmultiplikation.
>  Jedoch kann [mm]\bruch{1}{f^{2}}[/mm] nicht durch [mm]\bruch{1}{f}[/mm] mit
> Koffizienten aus R erzeugt werden,

Das muesste sehr ausfuehrlich begruendet werden.

> also ist
> [mm]\bruch{1}{f^{2}}[/mm] auch im Erzeugendensystem vom R-Modul
> [mm]R[\bruch{1}{f}].[/mm] Ebenso [mm]\bruch{1}{f^{n}},[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Also
> Erzeugendensystem von [mm]R[\bruch{1}{f}][/mm] unendlich.
>  
> Wäre das so ok? :-)

Leider nein, denn die Aufgabenstellung lauetete nicht ein unendliches Erzeugendensystem zu konstruieren, sondern vielmehr zu zeigen, dass es kein endliches solches gibt. Der Beweis muesste also ungefaehr so losgehen: Sei $E$ ein Erzeugendensystem. Zu zeigen ist, dass $E$ keine endliche Menge ist. Deine bereits angestellten Ueberlegungen werden aber sicher noch eine Rolle spielen.

>  
> Liebe Grüße
>  DrRiese


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