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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:21 Do 25.12.2014 | | Autor: | evinda |
Hallo!!!! Frohe Weihnachten!!!!
Sei [mm] E/\mathbb{Q} [/mm] eine elliptische Kurve in der Form einer Weierstraß-Gleichung und P=(x,y) ein rationaler Punkt der Kurve. Ich will zeigen, dass die erste Koordinante des Punktes 2P in der Form
[mm] x(2P)=\frac{x^4-b_4 x^2-2b_6x-b_8}{4x^3+b_2x^2+2b_4x+b_6}
[/mm]
geschrieben werden kann
wobei
[mm] b_2=a_1^2+4a_2
[/mm]
[mm] b_4=a_1a_3+2a_4
[/mm]
[mm] b_6=a_3^2+4a_6
[/mm]
[mm] b_8=a_1^2a_6-a_1a_3a_4+4a_2a_6+a_2a_3^2-a_4^2
[/mm]
Ist die folgende Gleichung die Weierstraß-Gleichung?
[mm] y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6
[/mm]
Ich habe diese benutzt und habe folgendes versucht:
[mm] \lambda=\frac{3x_1^2+2a_2x_1+a_4-a_1y_1}{2y_1+a_1x_1+a_3}, v=\frac{-x_1^3+a_4x_1+2a_6-a_3y_1}{2y_1+a_1x_1+a_3} [/mm] und dann
[mm] 2P=(\lambda^2+a_1 \lambda-a_2-x_1-x_2, -(\lambda+a_1)x_3-v-a_3)
[/mm]
[mm] P_1=P_2 \Rightarrow x_1=x_2=x, y_1=y_2=y
[/mm]
[mm] \lambda^2+a_1 \lambda-a_2-x-x= \\ \left ( \frac{3x^2+2a_2x+a_4-a_1y}{2y+a_1x+a_3} \right )^2+a_1 \frac{3x^2+2a_2x+a_4-a_1y}{2y+a_1x+a_3}-a_2-2x \\ =\frac{(3x^2+2a_2x+a_4-a_1y)^2}{(2y+a_1x+a_3)^2} +a_1 \frac{(3x^2+2a_2x+a_4-a_1y)(2y+a_1x+a_3)}{(2y+a_1x+a_3)^2}-\frac{(a_2+2x)(2y+a_1x+a_3)^2}{(2y+a_1x+a_3)^2} \\ [/mm] =
[mm] \frac{12a_2x^3-6a_1x^2y+4a_2^2x^2+6a_4x^2-4a_1a_2xy+4a_2a_4x+a_1^2y^2-2a_1a_4y+a_4^2+9x^4}{(2y+a_1x+a_3)^2}+\frac{3a_1^2x^3+6a_1x^2y+2a_1^2a_2x^2+3a_1a_3x^2-a_1^3xy+4a_1a_2xy+2a_1a_2a_3x+a_1^2a_4x-2a_1^2y^2-a_1^2a_3y+2a_1a_4y+a_1a_2a_3}{(2y+a_1x+a_3)^2}-\frac{2a_1^2x^3+8a_1x^2y+a_1^2a_2x^2+4a_1a_3x^2+4a_1a_2xy+8a_3xy+2a_3^2x+2a_1a_2a_3x+4a_2y^2+4a_2a_3y+a_2a_3^2+8xy^2}{(2y+a_1x+a_3)^2}
[/mm]
Das erwünschte Ergebnis enthält kein y, aber die Koordinante die ich gefunden habe enthält die Variable y.
Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe die Frage auch in math.stackexchange: http://math.stackexchange.com/questions/1078055/elliptic-curve-component-of-point
und in gute-mathe-fragen gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/191619/koordinate-des-punktes-der-elliptischen-kurve gestellt.
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:36 Sa 27.12.2014 | | Autor: | evinda |
Oder habe ich vielleicht Fehler gemacht bei den Berechnungen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 04.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 31.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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