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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mi 06.04.2005 | | Autor: | muli |
Hallo ich steige gerade neu in die Zahlentheorie
ein und habe ein paar elementare Fragen dazu
Also:
meines Wissenstandes nach ist ein normalTeiler, eine Untergruppe U in der
für alle a [mm] \in [/mm] G au= ua mit u [mm] \in [/mm] U gilt.
stimmt das?
eine Faktorgruppe G/U ist die Menge aller Nebenklassen N bzgl. der Operation *
für die gilt: aN * bN = abN
a,b sind dann element von Was?
Und wie hängt das mit den Äquivalenzklassen zusammen??
zum Homomorphiesatz:
G/kerP [mm] \cong [/mm] im(p)
Die Faktorgruppe [mm] G/ker\gamma [/mm] stelle ich mir folgendermaßen vor:
g [mm] \gamma [/mm] G
ker [mm] \gamma [/mm] = e (neutrales element)
[mm] =>g_{1...n} [/mm] e= e [mm] g_{1...n} [/mm] das ist ein Normalteiler von G.
bedeutet das nicht das G/kerp = G ist da ich ja nur alle elemente von G mit dem neutralen
Element verknüpfe???
bedeutet das nicht das G isomorph zu im(G) sein muss??
ich weiss nicht so und würde mich über ein paar erkärende Worte sehr freuen da ich mit meinem
Skript nicht mehr weiter komme!!!
Also schon mal Danke
muli
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Schöne Grüsse!
Also, ich versuche es mal... die Definition eines Normalteilers, die Du angegeben hast, ist so nicht ganz richtig. Korrekt lautet es:
Eine Untergruppe $U$ einer Gruppe $G$ heißt Normalteiler, falls für jedes $g [mm] \in [/mm] G$ und $u [mm] \in [/mm] U$ gilt: [mm] $gug^{-1} \in [/mm] U$. Anders formuliert: wenn man zu $g [mm] \in [/mm] G$ den Gruppenhomomorphismus [mm] $\tau_g [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ durch [mm] $\tau_g(h) [/mm] = [mm] ghg^{-1}$ [/mm] definiert, dann ist $U$ Normalteiler, wenn $U$ unter [mm] $\tau_g$ [/mm] invariant ist für jedes $g [mm] \in [/mm] G$.
Allerdings muss nach Konjugation (so heißt diese Operation) nicht wieder das gleiche Element $u$ herauskommen!
Was ist jetzt das besondere daran, einen Normalteiler zu haben? Schauen wir uns die Konstruktion der Faktorgruppe einmal an.
Sei $U$ eine Untergruppe. Dann definiere ich auf $G$ folgende Äquivalenzrelation: $g [mm] \sim [/mm] h : [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] U$. Ich erkläre also zwei Elemente der Gruppe für äquivalent, wenn ihre "Differenz" in $U$ liegt. Es ist leicht zu sehen, dass dies eine Äquivalenzrelation ist (da $U$ eine Untergruppe ist). Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit $G / U$ bezeichnet und eine Klasse, die von einem Element $g [mm] \in [/mm] G$ repräsentiert wird, schreibt man oft als $gU$.
Zunächst ist die Menge der Äquivalenzklassen nichts weiter als eine Menge. Man möchte aber gern, dass es sich wieder um eine Gruppe handelt. Dazu definiert man die Gruppenoperation auf die von Dir schon genannte Weise: sind $a,b [mm] \in [/mm] G$ und $aU, bU [mm] \in [/mm] G / U$ die jeweiligen Restklassen, dann definiert man $aU * bU := (ab)U$. Nun muss man sich überlegen, dass dies wohldefiniert ist, also nicht von der Wahl der Repräsentanten $a$ und $b$ abhängt. Der Clou ist, dass man dafür die abstruse Bedingung [mm] $gug^{-1} \in [/mm] U$ für alle $g [mm] \in [/mm] G$ und $u [mm] \in [/mm] U$ braucht - also man muss fordern, dass $U$ ein Normalteiler ist, damit die Menge der Äquivalenzklassen wieder eine Gruppe bildet!
Glücklicherweise ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus immer ein Normalteiler und daher macht $g / ker [mm] \; \gamma$ [/mm] für einen Morphismus [mm] $\gamma$ [/mm] immer Sinn.
Die Faktorgruppe habe ich ja oben erläutert - auch hier bildet man die Äquivalenzrelation $g [mm] \sim [/mm] h : [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] ker [mm] \; \gamma$. [/mm] Die Extremfälle hierbei sind der triviale Morphismus (alles geht auf $e$), dann liegt alles im Kern und jedes Element ist zu jedem anderen äquivalent. In dem Fall gibt es nur eine Restklasse - aber da das Bild auch nur aus einem Element besteht, kommt der Satz hin.
Das andere Extrem ist ein injektiver Morphismus - da ist $ker [mm] \; \gamma [/mm] = [mm] \{ e \}$ [/mm] und zwei Elemente sind genau dann äquivalent, wenn sie gleich sind. In dem Fall ist die Faktorgruppe als $G$ selbst und es ist einleuchtend, dass sie bijektiv auf ihr Bild abgebildet wird (injektiv war vorausgesetzt).
Ich hoffe, die Begriffe sind etwas klarer geworden. Frische auf jeden Fall nochmal Dein Wissen über Äquivalenzrelationen und den Übergang zur Menge der Äquivalenzklassen auf - das hilft ungemein. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:15 Mo 11.04.2005 | | Autor: | muli |
hi. gnometech!!!
erstmal vielewn Dank, ich habe nun gemerkt das ich wohl etwas grundlagen wissen brauche.
und so habe ich auch direkt mal eine frage zu den Äquivalenzklassen:
du schriebst:
Dann definiere ich auf $ G $ folgende Äquivalenzrelation: $ g [mm] \sim [/mm] h : [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] U $.
sowas steht auch in meinem skript und dazu der tolle Satz das dies eine Äquivalenzrelation ist kann man sich schnell klar machen....
Also ich leider nicht!!!!
g,h sind zwei bel. Elemente von G und U eine Untergruppe.
[mm] h^{-1} [/mm] ein 'bel.' inverses Element Hä!?!
[mm] gh^{-1} \in [/mm] U
wieso ist das, von dem oich mir überhaupt keinen Begriff machen kann, denn nun denn nun reflexiv,symmetrisch und transitiv???
Ich zweifle langsam an meinem Verstand. also es wäre toll wenn Du ,oder auch jemand anderes, sich nochmal die Mühe machen könnte, mir eine erklärung zu geben.
Danke nochmals und im vorraus
euer stümperhafter muli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich versuche es mal:
Eine Teilmenge $U$ einer Gruppe $G$ ist genau dann eine Untergruppe von $G$, wenn die drei folgenden Eigenschaften gelten:
1) $e [mm] \in [/mm] U$, wobei $e$ das neutrale Element von $G$ ist,
2) $g,h [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] gh [mm] \in [/mm] U$,
3) $g [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad g^{-1} \in [/mm] U$.
Wir wollen jetzt zeigen, dass auf $G$ durch
$g [mm] \sim [/mm] h [mm] \quad \Leftrightarrow \quad gh^{-1} \in [/mm] U$
eine Äquivalenzrelation gegeben ist, wenn $U$ eine Untergruppe von $G$ ist.
Reflexivität
Es sei $g [mm] \in [/mm] G$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist $g [mm] \sim [/mm] g$. Es gilt aber:
$g [mm] \sim [/mm] g [mm] \quad \Leftrightarrow \quad gg^{-1} [/mm] = e [mm] \in [/mm] U$,
was aber nach 1) gilt.
Symmetrie
Es seien $g,h [mm] \in [/mm] G$ beliebig gewählt und es gelte $g [mm] \simh [/mm] h$, also:
[mm] $gh^{-1} \in [/mm] U$.
Zu zeigen ist $h [mm] \sim [/mm] g$, also:
[mm] $hg^{-1} \in [/mm] U$.
Wendet man aber 3) auf [mm] $gh^{-1} \in [/mm] U$, so sieht man, dass auch
[mm] $\left(gh^{-1} \right)^{-1} \in [/mm] U$
gilt.
Nun ist aber:
[mm] $\left(gh^{-1} \right)^{-1} [/mm] = [mm] \left(h^{-1}\right)^{-1}g^{-1} [/mm] = [mm] hg^{-1}$.
[/mm]
Es gilt also in der Tat: [mm] $hg^{-1} \in [/mm] U$, also: $h [mm] \sim [/mm] g$.
Transitivität
Die könntest du doch jetzt mal selber versuchen herzuleiten, oder?
Voraussichtlich  wir man dabei auch 2) benötigen, denn das haben wir bisher ja noch gar nicht verwendet.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 13.04.2005 | | Autor: | muli |
ok nun mein Versuch zur Transitivität:
es seien g,h,f [mm] \in [/mm] G bel. gewählt
z.Z.:
h [mm] \sim [/mm] g [mm] \wedge [/mm] g [mm] \sim [/mm] f => h [mm] \sim [/mm] f
also:
[mm] hg^{-1} \in [/mm] U [mm] \wedge gf^{-1} \in [/mm] U
daraus folgt mit 2)
[mm] (hg^{-1})(gf^{-1}) \in [/mm] U
da [mm] gg^{-1} [/mm] = e
folgt
[mm] hf^{-1}e \in [/mm] U
stimmt das so oder habe ich da einen groben Fehler gemacht
kann ich einfach das [mm] gg^{-1} [/mm] so herrausnehmen oder müste ich nicht eigentlich den Term [mm] (hg^{-1})(gf^{-1}) [/mm] ausrechnen.
in etwa so:
[mm] (hg^{-1})(gf^{-1}) [/mm] = [mm] (hg)(hf^{-1})(gg^{-1})(gf^{-1})
[/mm]
was aber nicht so toll aufgeht!!
bin irgendwie so unsicher bei allem was ich tue.
wär toll wenn das mal einer überschauen könnte
danke David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 13.04.2005 | | Autor: | muli |
Danke da hab ich ja mal wieder einiges gelernt !!
Fürs erste kann ich jetzt mal weiterarbeiten, aber weitere Fragen folgen bestimmt
also auf bald
muli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:20 Do 14.04.2005 | | Autor: | muli |
Also ich hätte da doch noch mal eine kleine Frage zu eurer Antwort.
Sei $ U $ eine Untergruppe. Dann definiere ich auf $ G $ folgende
Äquivalenzrelation: $ g [mm] \sim [/mm] h : [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] U $.
Ich erkläre also zwei Elemente der Gruppe für äquivalent, wenn ihre "Differenz" in $ U $ liegt.
Es ist leicht zu sehen, dass dies eine Äquivalenzrelation ist
(da $ U $ eine Untergruppe ist).
So bis hier kann ich nun folgen.Aber...
Eine Äquivalenzklasse ist doch die Menge aller Werte, welche bezüglich einer bestimmten Relation in ,Relation zueinander stehen.
Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit $ G / U $ bezeichnet.
Da die oben definierte Äquivalenzrelation doch nur eine von vielen ist(????),
verstehe ich nicht ganz warum diese überhaupt definiert
wird und nicht eine andere oder direkt ein paar(wenn man mal gerade dabei ist).
und was das dann mit der Menge der Äquivalenzklassen zutun hat.
Also was soll
Fragen: Ist die Äquvalenzklasse nur ein repräsentant von vielen ?
ist die Anzahl der Äquvalenzklassen überhaupt endlich ?
Was ist das besondere an der von uns def. Ä.klasse ?
des weiteren:eine Klasse, die von einem Element $ g [mm] \in [/mm] G $ repräsentiert wird,schreibt man oft als $ gU $
Diese Klasse muss doch keine Ä.Klasse sein oder?
muss gU [mm] \in [/mm] U sein und ist dies dann eine Linksnebenklasse?
so das wars fürs erste
danke
euer schon ein wenig schlauerer muli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Do 14.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo muli!
> Eine Äquivalenzklasse ist doch die Menge aller Werte,
> welche bezüglich einer bestimmten Relation in ,Relation
> zueinander stehen.
Ja, es gilt:
$[x] = [mm] \{y \in X\, : \, y \sim x\}$.
[/mm]
> Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit [mm]G / U[/mm] bezeichnet.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da die oben definierte Äquivalenzrelation doch nur eine von
> vielen ist(????),
Auf jeder Menge kann man "sehr viele" Äquivalenzrelationen definieren, aber nicht immer sind alle interessant.
> verstehe ich nicht ganz warum diese überhaupt definiert
> wird und nicht eine andere oder direkt ein paar(wenn man
> mal gerade dabei ist).
> und was das dann mit der Menge der Äquivalenzklassen zutun
> hat.
Nun ja, diese Äquivalenzrelation ist halt besonders interessant. Stelle dir zum Beispiel vo $G$ sei der [mm] $\IR^2$, [/mm] mit der Addition als Verknüpfung, und $U$ eine Gerade. Dann ist $G/U$ einfach gleich der Menge aller zu $U$ parallelen Geraden.
> Also was soll
> Fragen: Ist die Äquvalenzklasse nur ein repräsentant von
> vielen ?
Ich verstehe die Frage nicht.
> ist die Anzahl der Äquvalenzklassen überhaupt endlich ?
Du meinst innerhalb einer Äquivalenzrelation? Wenn $G$ endlich ist, dann auf jeden Fall. Wenn $G$ unendlich ist und $U$ endlich, dann auf jeden Fall nicht. Ansonsten (d.h. wenn $G$ und $U$ unendlich sind), muss man genauer schauen.
> Was ist das besondere an der von uns def. Ä.klasse ?
Verwechselst du hier nicht zwei Begriffe: "Äquivalenzklasse" und "Äquivalenzrelation"?
Die Äquivalenzrelation war bei uns $g [mm] \sim [/mm] h [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] U$. Zu jeder Äquivalenzrelation gibt es dann mehrere Klassen, nämlich (siehe oben)
$[g] = [mm] \{h \in G\, : \, g \sim h\}$.
[/mm]
> des weiteren:eine Klasse, die von einem Element [mm]g \in G[/mm]
> repräsentiert wird,schreibt man oft als [mm]gU[/mm]
, aber nur im Falle der Äquivalenzrelation
$g [mm] \sim [/mm] h [mm] \Leftrightarrow g^{-1}h \in [/mm] U$.
Dann spricht man von den Linksnebenklassen.
Im Falle der obigen Äquivalenzrelation
$g [mm] \sim [/mm] h [mm] \Leftrightarrow gh^{-1} \in [/mm] U$
bezeichnet man die Äquivalenzklassen mit $Ug$ und nennt sie Rechtsnebenklassen.
Ist $G$ abelsch, dann fallen beide Äquivalenzrelationen zusammen.
Eine Untergruppe $U$, für die
$Ug=gU$
gilt, nennt man Normalteiler von $G$. In einer abelschen Gruppe ist somit jede Untergruppe ein Normalteiler.
Viele Grüße
Julius
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
, auch wenn du dich am Schluss etwas verzettelt hast...
