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elementare Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Mo 26.07.2010
Autor: lzaman

Aufgabe
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(cosx)^{\bruch{1}{x^2}} [/mm]

Hallo zusammen, hier muss ich wohl elementar umformen, wegen [mm] 1^{\infty}. [/mm]

Also betrachte ich den Exponenten nach L' Hospital:

[mm] \bruch{ln(cosx)}{x^2} [/mm]

[mm] \bruch{\bruch{1}{cosx}*(-sinx)}{2x} [/mm]

So nun muss ich euch an dieser Stelle fragen, ob ich den Zähler richtig ableite?

[mm] \bruch{-cosx*cosx-(-sinx)*(-sinx)}{cosx*cosx}=\bruch{-cosx+sin^2x}{cosx} [/mm]

So würde ich auf [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] kommen, sprich Lösung: [mm] e^{-1/2} [/mm]

        
Bezug
elementare Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mo 26.07.2010
Autor: fencheltee


> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(cosx)^{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
>  Hallo zusammen, hier muss ich wohl elementar umformen,
> wegen [mm]1^{\infty}.[/mm]
>  
> Also betrachte ich den Exponenten nach L' Hospital:
>  
> [mm]\bruch{ln(cosx)}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{cosx}*(-sinx)}{2x}[/mm]
>
> So nun muss ich euch an dieser Stelle fragen, ob ich den
> Zähler richtig ableite?
>
> [mm]\bruch{-cosx*cosx-(-sinx)*(-sinx)}{cosx*cosx}=\bruch{-cosx+sin^2x}{cosx}[/mm]
>  

bedenke: sin(x)/cos(x)=tan(x)
damit läuft alles doch ohne quotiententegel...

gruß tee

Bezug
                
Bezug
elementare Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Mo 26.07.2010
Autor: lzaman

so wende ich wegen [mm] \bruch{-tan(x)}{2x} [/mm] nochmal L'Hospital an und erhalte [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] also [mm] e^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{e}} [/mm]

Richtig so?

Gruß Lzaman

Bezug
                        
Bezug
elementare Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Mo 26.07.2010
Autor: fencheltee


> so wende ich wegen [mm]\bruch{-tan(x)}{2x}[/mm] nochmal L'Hospital
> an und erhalte [mm]-\bruch{1}{2},[/mm] also
> [mm]e^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm]
>  
> Richtig so?

[ok]

>  
> Gruß Lzaman

gruß tee

Bezug
        
Bezug
elementare Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mo 26.07.2010
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Wenn Du schon bei

                  $ \bruch{\bruch{1}{cosx}\cdot{}(-sinx)}{2x} $

angelangt bist, so forme um:

$ \bruch{\bruch{1}{cosx}\cdot{}(-sinx)}{2x} =-\bruch{1}{2}* \bruch{1}{cosx}*\bruch{sinx}{x}  \to -\bruch{1}{2}*1*1= -\bruch{1}{2$  für $x \to 0$


FRED

Bezug
                
Bezug
elementare Umformung: Verstehe das nicht!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Mo 26.07.2010
Autor: lzaman

Hallo Fred, kannst du mir das evtl. erklären, wieso [mm] \bruch{sinx}{x}=1 [/mm] ist? Ich komme auf [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und ich meine, dass man das nicht als 1 ansehen darf.



Bezug
                        
Bezug
elementare Umformung: bekannter(?) Grenzwert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 26.07.2010
Autor: Loddar

Hallo lzaman!


Das sollte aber ein bekannter Grenzwert sein mit [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ 1$ .

Dies kannst Du entweder mit de l'Hospital zeigen oder auch wie hier auf geometrischen Weg.


Gruß
Loddar


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Bezug
elementare Umformung: nicht gekannt!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Mo 26.07.2010
Autor: lzaman


>  
>
> Das sollte aber ein bekannter Grenzwert sein mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{x} \ = \ 1[/mm] .
>  

Danke, hatte ihn aber so nicht gekannt.

Gruß Lzaman

Bezug
                        
Bezug
elementare Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mo 26.07.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred, kannst du mir das evtl. erklären, wieso
> [mm]\bruch{sinx}{x}=1[/mm] ist? Ich komme auf [mm]\bruch{0}{0}[/mm] und ich
> meine, dass man das nicht als 1 ansehen darf.

Ergänzend zu Loddar:

1. Es ist nicht [mm]\bruch{sinx}{x}=1[/mm], sondern  [mm]\bruch{sinx}{x} \to 1[/mm]  für x [mm] \to [/mm] 0

2. Setze $f(x)=sin(x)$, dann ist  [mm]\bruch{sinx}{x}=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \to f'(0)= cos(0)=1[/mm]

3. Weiere Möglichkeit für  [mm]\bruch{sinx}{x} \to 1[/mm]  für x [mm] \to [/mm] 0:  Potenzreihe des Sinus

FRED

>  
>  


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