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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mo 02.06.2014 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | | Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm] R_{1}= [/mm] {4,9} und [mm] R_{2}= [/mm] {(l,m,n)|n=l+m } in(N,·) elementar definierbar sind: |
Hallo,
ich sitze zur Zeit an dieser Aufgabe und bräuchte Hilfe.
meine Überlungen bis jetzt:
- eine Relation elementar definierbar ist, wenn ich eine FO-Formel angeben kann
ich glaube, dass die erste Relation nicht elementar definierbar ist... Dies würde ich mit dem Isomorphielemma zeigen... Dazu würde ich ein Automorphismus wählen ... und zwar:
Von Primzahlen zu Primzahlen mit [mm] p\mapsto [/mm] 2 (falls p=2) [mm] p\mapsto [/mm] 3 (falls p=3) und [mm] p\mapsto [/mm] p (sonst)
Von natürlichen Zahlen zu den natürlichen Zahlen mit [mm] n\mapsto n^{2}
[/mm]
Das ist jedoch bestimmt komplett falsch ...
die zweite Relation (so denke ich) ist richtig oder? Doch wie stelle ich die Formel auf?
lg Blubblub
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Di 03.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]R_{1}=[/mm] {4,9} und [mm]R_{2}=[/mm]
> {(l,m,n)|n=l+m } in(N,·) elementar definierbar sind:
> Hallo,
>
> ich sitze zur Zeit an dieser Aufgabe und bräuchte Hilfe.
>
> meine Überlungen bis jetzt:
>
> - eine Relation elementar definierbar ist, wenn ich eine
> FO-Formel angeben kann
Konzentrieren wir uns zuerst einmal auf [mm] $R_{1}%:
[/mm]
>
> ich glaube, dass die erste Relation nicht elementar
> definierbar ist... Dies würde ich mit dem Isomorphielemma
> zeigen... Dazu würde ich ein Automorphismus wählen ...
> und zwar:
>
> Von Primzahlen zu Primzahlen mit [mm]p\mapsto[/mm] 2 (falls p=2)
> [mm]p\mapsto[/mm] 3 (falls p=3) und [mm]p\mapsto[/mm] p (sonst)
> Von natürlichen Zahlen zu den natürlichen Zahlen mit
Ich verstehe nicht, was dieser Automoprhismus soll, denn er bildet jede Primzahl auf sich selber ab. Damit ist er gleich der identischen Abbildung und mit dieser wirst Du doch gewiss keinen Widerspruch herleiten.
> [mm]n\mapsto n^{2}[/mm]
Und wozu jetzt diese Abbildung? Ich sehe den Zusammenhang nicht.
>
> Das ist jedoch bestimmt komplett falsch ...
>
Naja, die Idee ist in jedem Fall richtig. Ueberlege Dir einen vernuenftigen Auomorphismus und schreibe den Widerspruchsbeweis ausfuehrlicher auf: Angenommen es gibt eine Formel [mm] $\phi$ [/mm] so, dass [mm] $(\IN,\cdot)[n]\models \phi\iff n\in \{4,9\}$. [/mm] Sei [mm] $\alpha=\ldots$ [/mm] Automorphimus. Dann gilt [mm] $(\IN,\cdot)^{\alpha}[n^{\alpha}]\models \phi\iff\ldots$
[/mm]
>
>
> die zweite Relation (so denke ich) ist richtig oder? Doch
> wie stelle ich die Formel auf?
>
> lg Blubblub
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 03.06.2014 | | Autor: | blubblub |
Vielen Dank für deine Antwort :)
> Naja, die Idee ist in jedem Fall richtig. Ueberlege Dir
> einen vernuenftigen Auomorphismus und schreibe den
> Widerspruchsbeweis ausfuehrlicher auf: Angenommen es gibt
> eine Formel [mm]\phi[/mm] so, dass [mm](\IN,\cdot)[n]\models \phi\iff n\in \{4,9\}[/mm].
> Sei [mm]\alpha=\ldots[/mm] Automorphimus. Dann gilt
> [mm](\IN,\cdot)^{\alpha}[n^{\alpha}]\models \phi\iff\ldots[/mm]
> >
> >
Angenommen es gibt eine Formel [mm]\phi[/mm] so, dass [mm](\IN,\cdot)[n]\models \phi\iff n\in \{4,9\}[/mm].
Sei [mm] \alpha=\begin{cases} 4, & \mbox{falls} n=16 \\ 16, & \mbox{falls } n=4 \\ n, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]
(Also ein Automorphismus der die Zahlen vertauscht)
Dann gilt
[mm](\IN,\cdot)^{\alpha}[n^{\alpha}]\models \phi\iff \{16,9\}=\{4,9\} [/mm] Dies ist jedoch ein Widerspruch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 03.06.2014 | | Autor: | hippias |
Da waere ich gespannt auf die Begruendung, dass diese Abbildung tatsaechlich ein Automorphismus der Struktur [mm] $(\IN,\cdot)$ [/mm] ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Di 03.06.2014 | | Autor: | blubblub |
Wenn ich ja natürliche Zahlen quadriere (also multiplizieren mit sich selbst -> Multiplikation) und diese dann vertausche sind es immer noch natürliche Zahlen mit der Multiplikation... oder habe ich einen Denkfehler??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Mi 04.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Wenn ich ja natürliche Zahlen quadriere (also
> multiplizieren mit sich selbst -> Multiplikation) und diese
> dann vertausche sind es immer noch natürliche Zahlen mit
> der Multiplikation... oder habe ich einen Denkfehler??
Sollte so ein Automorphismus [mm] $\alpha$ [/mm] bijektiv sein, und ausserdem gelten
[mm] $\alpha(m*n) [/mm] = [mm] \alpha(m)*\alpha(n)$ [/mm] für alle $m,n [mm] \in \IN$?
[/mm]
Gruß
meili
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