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Hallo Leute,
Wir wissen, daß [mm] $\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} [/mm] = [mm] n^2$ [/mm] gilt.
Aber kann man diese Summe nicht auch als rekursive Folge definieren?
Es sollten sich z.B. alle natürlichen Zahlen mit 0 durch folgende rekursive
Folge aufzählen lassen:
Rekursionsanfang:
[mm] $i_0 [/mm] = 0$
Rekursionsschritt:
[mm] $i_{z+1} [/mm] = [mm] i_z+1$
[/mm]
Und für die Summe [mm] $\sum_{k=1}^{n}k$ [/mm] habe ich mir folgendes ausgedacht:
Rekursionsanfang:
$k = 0$
$q = 0$
[mm] $i_z [/mm] = n+1$
Rekursionsschritt:
$m = [mm] i_z-1$
[/mm]
$q = m + k$
$k = q$
[mm] $i_{z-1} [/mm] = m$
Beim Rekursionsende bin ich in diesem Falle überfragt. Man könnte
hier natürlich eine Art if-Struktur wie bei Programmiersprachen
"reinbasteln" aber das wäre dann wohl nicht mehr so ganz
"mathematisch". :(
Kann mir jemand helfen? Ich komme insbesondere mit der Summe für
ungerade Zahlen nicht weiter und brauche dafür eine möglichst einfache
rekursive Folge.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Karl_Pech!
> Wir wissen, daß [mm]\sum_{k=1}^{n}{(2k-1)} = n^2[/mm] gilt.
> Aber kann man diese Summe nicht auch als rekursive Folge
> definieren?
>
> Es sollten sich z.B. alle natürlichen Zahlen mit 0 durch
> folgende rekursive
> Folge aufzählen lassen:
>
> Rekursionsanfang:
> [mm]i_0 = 0[/mm]
>
> Rekursionsschritt:
> [mm]i_{z+1} = i_z+1[/mm]
>
> Und für die Summe [mm]\sum_{k=1}^{n}k[/mm] habe ich mir folgendes
> ausgedacht:
>
> Rekursionsanfang:
> [mm]k = 0[/mm]
> [mm]q = 0[/mm]
> [mm]i_z = n+1[/mm]
>
> Rekursionsschritt:
> [mm]m = i_z-1[/mm]
> [mm]q = m + k[/mm]
> [mm]k = q[/mm]
> [mm]i_{z-1} = m[/mm]
Das erscheint mir doch ziemlich kompliziert zu sein 
Ich würde es so machen:
[mm] a_0=0
[/mm]
[mm] a_k=a_{k-1}+k [/mm] für k>0
Aber vielleicht ist mir auch nicht klar, was dein eigentliches Problem ist...
> Beim Rekursionsende bin ich in diesem Falle überfragt. Man
> könnte
> hier natürlich eine Art if-Struktur wie bei
> Programmiersprachen
> "reinbasteln" aber das wäre dann wohl nicht mehr so ganz
> "mathematisch". :(
Ein Rekursionsende ist auch nicht nötig; man hört einfach beim n-ten Folgenglied auf, wenn man die Summe [mm] $\summe_{k=1}^n [/mm] k$ berechnen will.
> Kann mir jemand helfen? Ich komme insbesondere mit der
> Summe für
> ungerade Zahlen nicht weiter und brauche dafür eine
> möglichst einfache
> rekursive Folge.
[mm] b_0=1
[/mm]
[mm] $b_k=\underbrace{b_{k-1}}_{\mbox{\scriptsize Summe der ersten k ungeraden Zahlen}}+\underbrace{2k+1}_{\mbox{\scriptsize nächste ungerade Zahl}}$ [/mm] für k>1
Viele Grüße,
Marc
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