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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 16.06.2009 | | Autor: | bobby |
Hallo,
vielleicht koennt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen, ich komme da nicht so richtig weiter:
Es sei [mm] \xi_{n} [/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel.
Zeige: [mm] Irr(\xi_{n} [/mm] + [mm] \xi_{n}^{-1},\IQ) [/mm] = [mm] \produkt_{1 \le i \le n/2}^{ } [/mm] (x - [mm] \xi_{n}^{i} [/mm] - [mm] \xi_{n}^{-i}) [/mm] mit ggT(i,n)=1.
Ich weis, dass [mm] Irr(\xi_{n},\IQ) [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] -1 ist und hab das Minimalpolynom fuer einzelne Koerper, wie z.B. [mm] Irr(\wurzel{2},\IQ), [/mm] auch schonmal bestimmt, daher denke ich, dass ich mir in meinem Fall (bei der Aufgabe) auch, wie wir das bei anderen Beispielen gemacht haben, wieder die Bilder von [mm] \xi_{n} [/mm] + [mm] \xi_{n}^{-1} [/mm] unter Anwendung der Automorphismen aus [mm] Gal(\IQ(\xi_{n}):\IQ) [/mm] angucken muss, bzw. gucken, welche Bilder auftreten koennen.
Aber genau damit komme ich jetzt in Bezug auf meine Aufgabe nicht klar und weis dann auch so nicht wie weiter.
Ein anderes Problem habe ich dann damit:
Berechne die Koeffizienten von [mm] Irr(\xi_{5} [/mm] - [mm] \xi_{5}^{-1},\IQ).
[/mm]
Ich hoffe, jemand von euch kann mir da helfen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:01 Mi 17.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo bobby!
> vielleicht koennt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen,
> ich komme da nicht so richtig weiter:
>
> Es sei [mm]\xi_{n}[/mm] eine primitive n-te Einheitswurzel.
> Zeige: [mm]Irr(\xi_{n}[/mm] + [mm]\xi_{n}^{-1},\IQ)[/mm] = [mm]\produkt_{1 \le i \le n/2}^{ }[/mm]
> (x - [mm]\xi_{n}^{i}[/mm] - [mm]\xi_{n}^{-i})[/mm] mit ggT(i,n)=1.
>
> Ich weis, dass [mm]Irr(\xi_{n},\IQ)[/mm] = [mm]x^{n}[/mm] -1 ist und hab das
Das halte ich fuer ein Geruecht: [mm] $x^n [/mm] - 1$ hat immer $1$ als Nullstelle und ist somit nur fuer $n = 1$ irreduzibel.
Es gilt [mm] $x^n [/mm] - 1 = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] \xi_n^i)$ [/mm] und [mm] $Irr(\xi_n, \IQ) [/mm] = [mm] \prod_{i=1 \atop ggT(i, n) = 1}^n [/mm] (x - [mm] \xi_n^i)$; [/mm] zweiteres ist ein echter Teiler von [mm] $x^n [/mm] - 1$ (ausser fuer $n = 1$).
> Minimalpolynom fuer einzelne Koerper, wie z.B.
> [mm]Irr(\wurzel{2},\IQ),[/mm] auch schonmal bestimmt, daher denke
> ich, dass ich mir in meinem Fall (bei der Aufgabe) auch,
> wie wir das bei anderen Beispielen gemacht haben, wieder
> die Bilder von [mm]\xi_{n}[/mm] + [mm]\xi_{n}^{-1}[/mm] unter Anwendung der
> Automorphismen aus [mm]Gal(\IQ(\xi_{n}):\IQ)[/mm] angucken muss,
> bzw. gucken, welche Bilder auftreten koennen.
Exakt. Wie sehen die Automorphismen von [mm] $Gal(\IQ(\xi_n) [/mm] : [mm] \IQ)$ [/mm] aus? Also worauf bilden sie [mm] $\xi_n$ [/mm] alles ab?
Jetzt betrachte mal die Bilder von [mm] $\xi_n [/mm] + [mm] \xi_n^{-1}$. [/mm] Ist $M$ die Menge der Bilder, so gilt [mm] $Irr(\xi_n [/mm] + [mm] \xi_n^{-1}, \IQ) [/mm] = [mm] \prod_{\alpha \in M} [/mm] (x - [mm] \alpha)$; [/mm] dein Ziel sollte also sein, $M$ zu beschreiben. Laut Aufgabenstellung soll $M = [mm] \{ \xi_n^i + \xi_n^{-i} \mid 1 \le i \le n/2, \; ggT(i, n) = 1 \}$ [/mm] gelten.
> Ein anderes Problem habe ich dann damit:
>
> Berechne die Koeffizienten von [mm]Irr(\xi_{5}[/mm] -
> [mm]\xi_{5}^{-1},\IQ).[/mm]
Wie sehen die Bilder von [mm] $\xi_n [/mm] - [mm] \xi_n^{-1}$ [/mm] unter den Automorphismen aus? Kannst du fuer [mm] $Irr(\xi_n [/mm] - [mm] \xi_n^{-1}, \IQ)$ [/mm] eventuell eine aehnliche Formel wie im ersten Aufgabenteil finden? Oder zumindest fuer $n = 5$? Wenn ja, rechne damit [mm] $Irr(\xi_{5} -\xi_{5}^{-1},\IQ)$ [/mm] aus.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 17.06.2009 | | Autor: | bobby |
vielen dank für die antwort.
hat mir wirklich etwas geholfen, habe aber heute auch erfahren, dass in teil zwei der aufgabe ein fehler in der aufgabenstellung war...
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