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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion [mm] F (x) [/mm] von:
[mm]\gamma = \bruch {x^2 - 27}{x^4 + 9x^2}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ja ja, das Integrieren
ich komm leider grad soweit zu sehen das man hier wohl irgendwas mit arctan anfangen muss
$f(x) = $ $ [mm] \arctan [/mm] x $ - $f'(x) $ $= [mm] \bruch{1}{1 + x^2} [/mm] $
aber wie stell ichs um und was macht man wenn nu [mm] \bruch{1}{9 + x^2} [/mm] dasteht
bei mir haperts. is doch ne kleinigkeit. ich möchts lernen! freu mich über hilfe...danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Sa 07.04.2007 | | Autor: | riwe |
der nenner lautet [mm]N = x²(x-3)(x+3)[/mm]
da würde ich es mit partialbruchzerlegung versuchen
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oke, stimmt und führt bei mir zu etwas derartigem:
[mm]\bruch{3}{x^2} + \bruch{1}{3x + 9} - \bruch{1}{3x - 9}[/mm]
und wie mach ich das mit arc tan und [mm]\bruch{1}{3x - 9}[/mm] und [mm]\bruch{1}{3x + 9} [/mm] ?
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Hallo,
ich glaube, riwe hat sich leicht vertan.
Wenn ich mir den Nenner von [mm] \frac{x^2-27}{x^4+9x^2} [/mm] mal ansehe, so ist das doch eher
[mm] x^4+9x^2=x^2(x^2+9)=x^2(x-3i)(x+3i) [/mm] also 2 komplexe Nullstellen.
Was das Integrieren der Funktion angeht, so würde ich versuchen, zunächst die Funktion etwas umzuschreiben:
[mm] f(x)=\frac{x^2-27}{x^4+9x^2}=\frac{x^2(1-\frac{27}{x^2})}{x^2(x^2+9)}=\frac{1}{x^2+9}-\frac{27}{x^2(x^2+9)}=
[/mm]
[mm] =\frac{1}{x^2+9}-\frac{27}{x^4+9x^2}
[/mm]
Dies würde ich nun einzeln intetgrieren, das erste ist [mm] \integral{\frac{1}{x^2+3^2}dx}=\frac{1}{3}arctan\left(\frac{x}{3}\right)
[/mm]
Das zweite ist [mm] \integral{-\frac{27}{x^4+9x^2}dx}=-27\integral{\frac{1}{x^2(x^2+9)}dx}
[/mm]
Hier nun doch eine PBZ, es müsste glaube ich [mm] \frac{1}{x^2(x^2+9)}=-\frac{3}{x^2}+\frac{3}{x^2+9} [/mm] sein, aber ohne Gewähr. Das kannste dann weiter verwurschteln
LG
schachuzipus
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ist plausiblel. dank dir. könntest du mir noch diesen schritt genau erklären. genau da hakts nämlich, bei den banalitäten...
$ [mm] \integral{\frac{1}{x^2+3^2}dx}=\frac{1}{3}arctan\left(\frac{x}{3}\right) [/mm] $
danke
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Hallo
Die Stammfunktion von 1/(x²+n²) ist 1/n*arctan*(x/n)
Brauchen Sie noch einen genauen Rechenweg, oder reicht Ihnen das so?
Gruß
R. Kleiner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Sa 07.04.2007 | | Autor: | strohbert |
nee, danke, danke. is klar wie kloßbrühe. langsam werd ich schlauer.
frohe ostern!...
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Hallo, nochmal eine Nachfrage
[mm]\int {\bruch{1}{x^2 + n^2}} = \bruch{1}{n} * arctan\left( \bruch{x}{n} \right) + C[/mm]
Wie kommt man darauf? Kann man sich das denken oder herleiten oder ist es völlig ersichtlich?
Meistens stehts doch so in der Formelsammlung:
[mm]f(x) = arctan(x) >> f'(x) = \bruch{1}{x^2 + 1}[/mm]
Wie schließt man von diesem auf obiges? Gibts da irgend ne Regel, die einem dann auch bei anderen Funktionen (arcsin, arccos..usw) behilflich ist. Oder hab ich die falsche Formelsammlung...?
danke
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Also in meiner Formelsammlung (Lothar Papula, Mathematische Formelsammlung, (mit 400 Integralen)) steht das Integral in der Form mit [mm] n^{2}.
[/mm]
Übrigens ist auch der 1. Band (L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler) sehr gut geeignet, um die Differential- und Integralrechnung wieder aufzufrischen, mit vielen Übungsaufgaben incl. Lösung.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 So 08.04.2007 | | Autor: | strohbert |
dem werd ich mal nachgehen...
danke!
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Hallo strohbert,
das liegt daran, dass die Ableitung vom [mm] \arctan [/mm] so "gestrickt" ist:
[mm] \left(\arctan\left(\frac{x}{a}\right)\right)'=\frac{a}{x^2+a^2}
[/mm]
Und das [mm] \green{a} [/mm] im Zähler musste ja beim Integrieren "ausgleichen", daher ist
[mm] \integral{\frac{1}{x^2+a^2} dx}=\green{\frac{1}{a}}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)
[/mm]
Das passt auch mit der "reinen" Ableitung zusammen, denn
[mm] \left(\arctan(x)\right)'=\left(\arctan\left(\frac{x}{\red{1}}\right)\right)'\frac{\red{1}}{x^2+\red{1^2}}=\frac{1}{x^2+1}
[/mm]
Wie da die genaue Herleitung ist, musste mal in der Formelsammlung nachsehen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 So 08.04.2007 | | Autor: | riwe |
ja, da habe ich statt des PLUS ein MINUS gelesen.
tut mir leid
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