einfacher Beweis bei Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 18.09.2013 | | Autor: | M4rv3Y |
Hallo, wir haben in einem Mathe Vorkurs schnell die Mengen aufgegriffen und haben dazu die folgende Aufgabe gestellt bekommen. Natürlich sieht jeder sofort dass B=C ist aber ich weiß nicht was da jetzt genau von mir verlangt wird. :(
Es seien Mengen A,B und C gegeben mit den Eigenschaften
A u B = A u C und A n B = A n C
Folgern sie B=C
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Es seien Mengen A,B und C gegeben mit den Eigenschaften
>
> A u B = A u C und A n B = A n C
>
> Folgern sie B=C
Ich würde das mit einem Widerspruchbeweis zeigen.
Also zeigen, daß es nicht sein kann, daß unter der gemachten Voraussetzung die Mengen B und C verschieden sind.
Beweis:
Angenommen, es gilt
[mm] A\cup B=A\cup [/mm] C und [mm] A\cap B=A\cap [/mm] C,
und die Mengen B und C sind verschieden.
Dann gibt es ein Element [mm] b\in [/mm] B, welches nicht in C ist.
Natürlich ist [mm] b\in A\cup [/mm] B.
Also ist nach Voraussetzung [mm] b\in A\cup [/mm] C.
Weil [mm] b\not\in [/mm] C, ist [mm] b\in [/mm] A.
Und jetzt kannst Du mal versuchen, mithilfe der Schnittmengen und dem Element b einen Widerspruch zu erzeugen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 18.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Angela,
> Angenommen, es gilt
> [mm]A\cup B=A\cup[/mm] C und [mm]A\cap B=A\cap[/mm] C,
> und die Mengen B und C sind verschieden.
> Dann gibt es ein Element [mm]b\in[/mm] B, welches nicht in C ist.
Die Schlussfolgerung stimmt nicht ganz.
Aber es gilt:
Es gibt ein [mm] $b\in [/mm] B$ mit [mm] $b\notin [/mm] C$
oder
es gibt ein [mm] $c\in [/mm] C$ mit [mm] $c\notin [/mm] B$.
Die beiden Fälle lassen sich natürlich analog behandeln.
Viele Grüße
Tobias
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