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Ich soll folgendes beweisen: Wenn man 3 aufeinander folgende natürliche und gerade Zahlen addiert, ist das Ergebnis immer durch 6 teilbar.
Und ich steh aufm Schlauch. Bitte um Hilfe.
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Hallo chosenone,
> Ich soll folgendes beweisen: Wenn man 3 aufeinander
> folgende natürliche und gerade Zahlen addiert, ist das
> Ergebnis immer durch 6 teilbar.
In dieser Aussage steckt bereits das "Kochrezept" für einen konstruktiven Beweis dazu. Ist eine natürliche Zahl restlos durch 2 teilbar, so muß es eine natürliche Zahl [mm]n[/mm] geben, die mit 2 multipliziert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt. Also kann man eine natürliche gerade Zahl folgendermaßen darstellen: [mm]2n[/mm].
Und was fällt einem auf, wenn man anfängt bei 0 zu zählen? 0,1,2,3,4,5,6,... . Es fällt z.B. auf, daß sich gerade und ungerade Zahlen abwechseln: gerade, ungerade, gerade, ungerade, gerade,... . Mit dieser Feststellung müßtest du die 3 geraden Nachfolger von [mm]2n[/mm] darstellen können. Und jetzt addiere sie nach dem "Kochrezept" aus der Aufgabenstellung zusammen und schaue, ob du die entstandene Zahl durch 6 teilen kannst.
Viele Grüße
Karl
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| Aufgabe | | Addiert man 3 aufeinander folgende natürliche Zahlen, so ist das Ergebnis immer durch 6 teilbar. |
Mir geht es vor allem um die richtige Dartstellung, das mit den Beweisen liegt bei mir eine WEile zurück. Jetzt muss ich wieder einen machen und weiß eben nicht mehr genau, wie ich anfange etc. Sprich, wie ich das in eine schöne mathematische Form bringe.
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Hallo,
im Prinzip hat doch Karl schon alles erläutert. Also sehen wir mal. Sei n eine natürliche Zahl, dann ist ein 2n eine gerade natürliche Zahl. Die geraden Nachfolger von 2n sind 2(n+1) und 2(n+2). Addiere die drei Zahlen und du bekommst [mm]2n+2(n+1)+2(n+2)=6n+6=6(n+1)[/mm]. Folglich ist das Ergebnis durch 6 teilbar.
Viele Grüße
Daniel
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