eindeutige Primfaktorzerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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okay ich hab inzwischen noch ne frage und zwar inwiefern kann man den Staz über die eindeutige primfaktorzerlegung in [mm] IZ [/mm] auf andere Ringe z.B. [mm] IZ[\sqrt{1}[/mm] ] oder Z[c [mm] \sqrt{2}[/mm] [/mm] ] verallgemeinern ?
also der satz ist:
zu jeder natürlichen zahl [mm] a \in IN [/mm] gibt es ein [mm] m \in IN \cup {o} [/mm] und Primzahlen p1,...pm mit a = p1*...*pm. Eine solche Darstellung von a als Produkt von Primzahlen ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig durch a bestimmt.
Ich hab mir gedacht das ich dem vielleicht näher komme wenn ich anwende das [mm]IZ[/mm] ein Hauptidealring ist indem die eigenschaften prim und unzerlegbar gelich sind aber dann komm ich leider nciht mehr weiter also für hilfe wäre ich sehr dankbar....
und wenn das hier jemand liest vielleicht kommt er ja auch mit meiner anderen frage zurrecht da hab ich mich nämlich mit der zeit vertan die antwort bräuchte ich bis heute abend sorry....
jedenfalls vielen dank an alle die sich mit meinen problemen beschäftigen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Di 15.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
die ringe mit der eigenschaft, die du hier nennst - nämlich, dass jedes von null verschiedene element, das keine einheit ist, als bis auf reihenfolge (und assoziertheit) eindeutiges produkt von irreduziblen elementen schreiben lässt - nennt man faktoeriell. insbesondere ist auch [m] \mathbb{Z}[\sqrt{2}] [/m] faktoriell. was du mit [m] \mathbb{Z}[\sqrt{1}] [/m] meinst weiß ich nicht so genau, da ja [m] \sqrt{1} = 1 [/m] und somit [m] \mathbb{Z}[\sqrt{1}] = \mathbb{Z}[1] = \mathbb{Z}[/m], da hier eben nur die $1$ adjungiert wird und diese war ja sowieso schon im ring, macht diesen also nicht größer.
im allgemeien gilt für beliebige ringe $R$:
$R$ euklidisch [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $R$ hauptidealring [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $R$ faktoriell
und man kann z.b. zeigen, dass [m] \mathbb{Z}[\sqrt{2}] [/m], [m] \mathbb{Z}[\sqrt{3}] [/m], [m] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] = \mathbb{Z}[i] [/m] (und noch viele andere) euklidisch und damit insbesondere faktoriell sind und also die von dir geforderte eigenschaft haben.
ich hoffe das hilft weiter und du weißt was euklidische ringe sind.
grüße
andreas
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mit der 1 meinte ich eine -1 tut mir leid da hab ich mich vertippt, jedenfalls vielen dank für deine Antwort.... was genau ist ein euklidischer Ring? es wäre echt klasse wenn du mir das noch beantworten könntest
Danny
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kein Problem,
Ein Euklidischer Ring R ist ein Integritätsbereich mit Eins in dem eine Abbildung [mm] f:R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}_0 [/mm] mit
Zu [mm] a,b\in [/mm] R mit [mm] b\not=0 [/mm] existieren Elemente [mm] q,r\in [/mm] R mit
[mm] a=q\cdot [/mm] b+r, wobei r=0 oder f(r)<f(b).
f heißt auch die Euklidische (Norm-)Abbildung von R.
viele Grüße
Michael
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Obwohl ich zu spät antworte, hier ein Zusatz:
In einem Ring ohne 1 ist die Primzerlegung nicht eindeutig. Beispiel: Betrachte 2 [mm] \IZ [/mm] = Menge aller ganzen geraden Zahlen. In diesem Ring gibt es keine 1.
Betrachte nun die Zahl 36 = 6*6 = 2*18.
Sowohl 2 als auch 6 als auch 18 sind in diesem Ring Primzahlen, da nicht weiter zerlegbar (6 = 2*3, aber eine 3 gibt es hier nicht. 18 = 2*9=3*6, aber 9 oder 3 gibt es hier nicht). 36 hat somit zwei verschiedene Primdarstellungen.
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