eindeutige Lösung auf Interval < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass das Anfangswertproblem
[mm]y'=t-y^4(t) [/mm] mit [mm]y(0) = 0 [/mm] auf dem Intervall [0,1] eine eindeutige Lösung hat und das die Lösung dort durch -1 nach unten und 1 nach oben begrenzt ist |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, was zu sehr großen Teilen daran liegt, dass ich Lehramt studiere und wir kein Ana II gemacht haben. Aber genug davon.
Ich weiß, damit eine eindeutige Lösung exisitiert muss die Funktion auf dem Intervall lipschitzstetig sein. Stetig ist sie ja sowieso, da hier ja eine Komposition von 2 stetigen Funktionen vorliegt. Für die Lipschitzstetigkeit würde ich wie folgt ansetzen:
[mm] |f(x,y)-f(x,z)| \le L|y-z| [/mm]
[mm] |t-y^4-t-z^4| = ||-y^4-z^4| = |-z^4-y^4| [/mm]
Hier steht jetzt, dass 2 große Zahlen voneinander abgezogen werden. Da die Lip.Stetigkeit aber nur auf [0,1] gezeigt werden soll, nützt mir diese Erkenntnis aber glaube ich nichts.
Ich bitte um Hilfe.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei $R:=[0,1] [mm] \times [/mm] [-1,1]$ und $f:R [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] f(t,y)=t-y^4.
[/mm]
Dann haben wir:
1. [mm] \max\{|f(t,y)|: (t,y) \in R \}=1
[/mm]
(zeige das !)
und
2. [mm] |f(t,y)-f(t,z)|=|z^4-y^4|=|z-y|*|z^3+z^2y+zy^2+y^3|
[/mm]
Zeige damit:
|f(t,y)-f(t,z)| [mm] \le [/mm] 4*|y-z| für alle (t,y), (t,z) [mm] \in [/mm] R.
Aus obigem folgt dann die behauptung aus dem Satz von Picard-Lindelöf für Rechtecke.
FRED
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