eigenwerte orthogonaler matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Phecda |
Hallo,
hätte eine Frage zu Eigenwerten
Sei A eine nxn Matrix über [mm] \IR, [/mm] welche orthogonal ist.
Fasst man B = [mm] 1/2(A+A^t) [/mm] als komplexe Matrix auf und ist [mm] \lambda \in \IC [/mm] ein Eigenwert von B, so gilt [mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] -1<=\lambda [/mm] <= 1
Okay mein ansatz ist: [mm] \my \in \IC [/mm] ist der Eigenwert von A. dann ist [mm] 1/\my [/mm] der eigenwert von [mm] A^t. [/mm] (A ist orthogonal, kann man sich leicht überlegen)
Gut meine strategie ist nun zu zeigen, dass der betrag betragsmäßig kleiner 1 ist.
leider gelingt mir das nicht .... was mach ich falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 25.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du must zwei Dinge zeigen:
1. Für alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von B gilt [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
2. Für alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von B gilt -1 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1
Zu 1.
Da B symetrisch ist, folgt die Behauptung aus der Tatsache, das jede symetrische Matrix nur reelle Eigenwerte besitzt. Der Bewies ist einfach.
Zu 2.
Sei x Eigenvektor von B mit Eigenwert [mm] \lambda [/mm] dann gilt
[mm] \lambda x=Bx=\bruch{1}{2}(A+A^t)x=\bruch{1}{2}Ax+\bruch{1}{2}A^tx [/mm] daraus folgt
[mm] |\lambda|*{\parallel{x}}\parallel \le \parallel{x}\parallel [/mm] wegen [mm] \parallel{Ax}\parallel=\parallel{x}\parallel [/mm] und der Dreiecksungleichung
also [mm] |\lambda|\le1
[/mm]
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