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eigenvektoren: matrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Di 26.05.2009
Autor: idonnow

Aufgabe
Eine Population bestehe aus neugeborenen, einjährigen und zweijährigen Individuen.
Im Jahr n sei deren Anzahl durch den Vektor x(n) =

x1(n)
x2(n)
x3(n)

gegeben. Im darauffolgenden
Jahr sei die Zahl der Individuen durch x(n + 1) = Ax(n) gegeben, wobei
die Matrix A durch
A =
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 7 & 7 \\ 1/9 & 0 & 0\\ 0 & 2/7 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
gegeben ist.
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
(b) Welche Eigenvektoren kann man biologisch interpretieren?

Hallo!

Ich habe zur oben genannten Matrix die Eigenwerte:-1/3, -2/3, 1 berechnet, aber ich komme nicht auf die Eigenvektoren, obwohl ich ein GLS aufgestellt habe:

-1/3x1 + 7x2 + 7x3   = 0
1/9x1 - 1/3x2            = 0
          - 2/7x2 - 1/3x3= 0

Kann mir Jemand weiterhelfen??

        
Bezug
eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Di 26.05.2009
Autor: angela.h.b.


> Eine Population bestehe aus neugeborenen, einjährigen und
> zweijährigen Individuen.
>  Im Jahr n sei deren Anzahl durch den Vektor x(n) =
>  
> x1(n)
>  x2(n)
>  x3(n)
>  
> gegeben. Im darauffolgenden
>  Jahr sei die Zahl der Individuen durch x(n + 1) = Ax(n)
> gegeben, wobei
>  die Matrix A durch
>  A =
>  [mm]\begin{pmatrix} 0 & 7 & 7 \\ 1/9 & 0 & 0\\ 0 & 2/7 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> gegeben ist.
>  (a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
>  (b) Welche Eigenvektoren kann man biologisch
> interpretieren?
>  
> Hallo!
>  
> Ich habe zur oben genannten Matrix die Eigenwerte:-1/3,
> -2/3, 1 berechnet, aber ich komme nicht auf die
> Eigenvektoren, obwohl ich ein GLS aufgestellt habe:
>  
> -1/3x1 + 7x2 + 7x3   = 0
>  1/9x1 - 1/3x2            = 0
>           [mm] \red{ -} [/mm] 2/7x2 - 1/3x3= 0
>  
> Kann mir Jemand weiterhelfen??

Hallo,

das rote Minus ist falsch.

Die Koeffizientenmatrix des Systems ist

  [mm]\begin{pmatrix} -1/3 & 7 & 7 \\ 1/9 & 0-1/3& 0\\ 0 & 2/7 & -1/3 \end{pmatrix}[/mm].


Du suchst nun eine Basis des Kerns.

Bring die matrix zunächst auf Zeilenstufenform, danach kann man Dir dann weiterhelfen.

Gruß v. Angela




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