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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 28.03.2007 | | Autor: | ghl |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktionenschar [mm] y=f_{t}(x)=(x+\bruch{1}{t})e^{-tx} [/mm] .
Nun wird t>0 angenommen. Für jedes dieser t gibt es eine Gerade [mm] g_{t} [/mm] mit y=tx+1. Bestimmen Sie den Wert für t so, dass diese Gerade den Graphen der zugehörigen Funktion [mm] f_{t} [/mm] in genau einem Punkt schneidet. |
Also alle Aufgaben zuvor zu dieser Funktion, sogar die mit partieller Integration hab ich problemlos gekonnt. Nun aber versteh ich den Sinn nicht. Irgendwie sind es doch ganz viele t, bei denen die Gerade die Fkt. nur in einem Pkt. schneidet.
Bekannt ist ja P(0|1). Wollte über Tangentenlegung an den Graphen die Berührungsstellen ermitteln (Punktrichtungsgleichung, Anstieg ist erste Ableitung an der gesuchten Stelle x0), kann aber diese Exponentialgleichung nicht wirklich nach x umstellen. Gibt es denn da einen vertäglich(er)en Weg oder wie muss ich mir die Geschichte vorstellen? Find wegen dieser e-Fkt. partout keinen Ansatz, weil da ne Auflösung nach x nicht möglich ist..?! Normalerweise hätt ich halt beide Gleichungen (Gerade + Fkt) gleichgesetzt und das t halt so bestimmt, dass nur eine Lösung rauskommt. Aber so???
Könnt Ihr mir da weiterhelfen?? Wäre supernett. (P.S. So bald wie nur geht ^^)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Gegeben ist eine Funktionenschar
> [mm]y=f_{t}(x)=(x+\bruch{1}{t})e^{-tx}[/mm] .
> Nun wird t>0 angenommen. Für jedes dieser t gibt es eine
> Gerade [mm]g_{t}[/mm] mit y=tx+1. Bestimmen Sie den Wert für t so,
> dass diese Gerade den Graphen der zugehörigen Funktion
> [mm]f_{t}[/mm] in genau einem Punkt schneidet.
Hi,
in der Aufgabe steht ja, dass Geraden y = tx+1 und die Funktionen [mm]y=f_{t}(x)=(x+\bruch{1}{t})e^{-tx}[/mm] sich schneiden.
D.h. man kann diese Funktionen gleichsetzen:
tx+1 = [mm] (x+\bruch{1}{t})e^{-tx}
[/mm]
tx+1 = [mm] \bruch{(tx+1)e^{-tx}}{t}
[/mm]
(tx+1)(1- [mm] \bruch{e^{-tx}}{t}) [/mm] = 0
Also tx+1 = 0 [mm] \Rightarrow x_{1}=-\bruch{1}{t}
[/mm]
und 1- [mm] \bruch{e^{-tx}}{t} [/mm] = 0
[mm] e^{-tx}=t
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{lnt}{t}
[/mm]
Die Gleichung hat zwei Lösungen. D.h. zwei Punkte kommen in Frage. In der Aufgabe steht jedoch, es muss einen Punkt geben. Also muss [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] -\bruch{lnt}{t} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{t}
[/mm]
Jetzt t finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 28.03.2007 | | Autor: | ghl |
Soweit alles klar, jedoch kann ich Deinen Umformungsschritt von
tx+1 = [mm] \bruch{(tx+1)e^{-tx}}{t} [/mm]
auf
[mm] (tx+1)(1-\bruch{e^{-tx}}{t})=0
[/mm]
nicht verstehen. Ich grüble schon ne Weile. Wie hast Du das denn gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Soweit alles klar, jedoch kann ich Deinen Umformungsschritt
> von
>
> tx+1 = [mm]\bruch{(tx+1)e^{-tx}}{t}[/mm]
>
> auf
>
> [mm](tx+1)(1-\bruch{e^{-tx}}{t})=0[/mm]
>
> nicht verstehen. Ich grüble schon ne Weile. Wie hast Du das
> denn gemacht?
tx+1 = [mm]\bruch{(tx+1)e^{-tx}}{t}[/mm]
tx+1 = [mm] (tx+1)\bruch{e^{-tx}}{t}
[/mm]
(tx+1) - [mm] (tx+1)\bruch{e^{-tx}}{t} [/mm] =0
(tx+1) ausklammern.
(tx+1)*( 1- [mm] \bruch{e^{-tx}}{t}) [/mm] =0
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 28.03.2007 | | Autor: | ghl |
Jo. Danke, hab alles ausgerechnet, komme auf t=e. Das Problem is bloß, dass für diesen Fall [mm] f_{e} [/mm] und [mm] g_{e} [/mm] sich nur berühren und nicht schneiden...
War das so gewollt, weil es heißt ja: "in genau einem Punkt schneidet"?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Jo. Danke, hab alles ausgerechnet, komme auf t=e. Das
> Problem is bloß, dass für diesen Fall [mm]f_{e}[/mm] und [mm]g_{e}[/mm] sich
> nur berühren und nicht schneiden...
> War das so gewollt, weil es heißt ja: "in genau einem
> Punkt schneidet"?!
Nach meiner Berechnung ist die Gerade [mm] g_{e} [/mm] keine Tangente an [mm] f_{e} [/mm] im Punkt x= [mm] -\bruch{1}{e} [/mm] Die Tangente ist y=ex
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