ebenennormalform < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Fr 07.01.2005 | | Autor: | ghostdog |
hallo ich habe ein problem mit der ebenen gleichungs aufgabe die lautet
man betimmte die parameterfreie gleichung der durch nachfolgenden angaben festgelegten ebene E
P1(0,0,1), P2(1,-1.0), P3(-2,1,1)
die losung lautet [mm] x_{1}+2x_{2}-x_{3}+1=0
[/mm]
ist das die normalform lautet sie nicht allg.:
Ax+By+Cz+D=0
aber wie ist dann der normalvektor [mm] \overrightarrow{ n}= \vektor{A\\B\\C}
[/mm]
ein ansatz ware uber das sklarproduct jeweils multipliziert mit denn vektoren die die ebende aufspannen also
[mm] \overrightarrow{ P1P2}= \vektor{1\\-1\\-1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{ P1P3}= \vektor{-2\\1\\1}
[/mm]
das müsste jeweils null sein also
[mm] \overrightarrow{ P1P2}*\overrightarrow{ n}= [/mm] 0
[mm] \overrightarrow{ P1P3}*\overrightarrow{ n}= [/mm] 0
aber irgendwie komme ich dann auch nicht auf die ebendegleichung
weis jemand bescheid?
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> man betimmte die parameterfreie gleichung der durch
> nachfolgenden angaben festgelegten ebene E
> P1(0,0,1), P2(1,-1.0), P3(-2,1,1)
> die losung lautet [mm]x_{1}+2x_{2}-x_{3}+1=0[/mm]
> ist das die normalform lautet sie nicht allg.:
> Ax+By+Cz+D=0
Diese Gleichung wird normalerweise als "Koordinatengleichung" bezeichnet. Und ja: deine Version ist die allgemeine Form davon.
> aber wie ist dann der normalvektor [mm]\overrightarrow{ n}= \vektor{A\\B\\C}[/mm]
>
> ein ansatz ware uber das sklarproduct jeweils multipliziert
> mit denn vektoren die die ebende aufspannen also
> [mm]\overrightarrow{ P1P2}= \vektor{1\\-1\\-1}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{ P1P3}= \vektor{-2\\1\\1}[/mm]
Mit [mm]P_1(0/0/1)[/mm] und [mm]P_3(-2/1/1)[/mm] ist der zweite Vektor: [mm]\overrightarrow{P_1P_3}=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Ansonsten umständlich beschrieben, aber dein Ansatz ein paar Zeilen tiefer ist richtig.
> das müsste
> jeweils null sein also
> [mm]\overrightarrow{ P1P2}*\overrightarrow{ n}=[/mm] 0
> [mm]\overrightarrow{ P1P3}*\overrightarrow{ n}=[/mm] 0
Richtig, es muss also gelten:
[mm]1\cdotn_1-1\cdotn_2-1\cdotn_3=0[/mm]
[mm]-2\cdotn_1+n_2=0[/mm]
Ein LGS mit 3 Unbekannten, und 2 Gleichungen... unterbestimmt isses, also wirst du einen Parameter brauchen.
Setz z.B. [mm]n_1=:k[/mm] in die zweite Gleichung, dann ergibt sich aus dieser zweiten Gleichung [mm]n_2=2k[/mm].
Setz [mm]n_1=k[/mm] und [mm]n_2=2k[/mm] in die erste Gleichung ein, und du bekommst [mm]n_1[/mm].
Für k kannst du was beliebiges einsetzen, nur nicht Null (so, dass der Vektor "schön" aussieht: nicht zu große Zahlen, und keine Brüche).
Das ist dein Normalenvektor.
Den setzt du in die allgemeine Gleichung ein: [mm]n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d[/mm].
Fehlt also nur noch das d. Du bekommst es, indem du die Koordinaten von einem deiner drei Punkte in die Gleichung einsetzt.
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