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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 24.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Sei A aus R^nxn eine Matrix. Zeigen Sie:
1) Die Reihe
exp(A):= [mm] \summe_{k \ge0} A^k/k!
[/mm]
konvergiert, d.h. ist B(N) = (bij(N)) 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] N :=
[mm] \summe_{k=0}^{N} A^k/k! [/mm] , so sind die (bij(N)) mit N aus N konvergente Folgen. Wie üblich: [mm] A^0=En
[/mm]
Hinweis: Benutzen sie die Norm IIAII := Summe der Beträge aller aij mit der Eigenschaft: II A*B II < II A II * II B II
(ii) Ist A diagonalisierbar, so auch exp (A)
(iii) Benutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um exp(A) für
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 }
[/mm]
zu bestimmen. |
Hallo ;-(
Ja, schon wieder ich!
Hab mich an der Aufgabe versucht und schon mit hinschreiben der Summe und abschätzen mit kleiner gleich versucht auf nen grünen Zweig zu kommen aber der scheint mir in unerreichbarer Ferne zu liegen.
Ich hoffe, einer von euch blickt da durch und kann mir helfen!
Danke!
LG
Linda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mi 24.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Linda!
> Sei A aus R^nxn eine Matrix. Zeigen Sie:
>
> 1) Die Reihe
> exp(A):= [mm]\summe_{k \ge0} A^k/k![/mm]
>
> konvergiert, d.h. ist B(N) = (bij(N)) 1 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] N :=
> [mm]\summe_{k=0}^{N} A^k/k![/mm] , so sind die (bij(N)) mit N aus N
> konvergente Folgen. Wie üblich: [mm]A^0=En[/mm]
>
> Hinweis: Benutzen sie die Norm IIAII := Summe der Beträge
> aller aij mit der Eigenschaft: II A*B II < II A II * II B
> II
>
> (ii) Ist A diagonalisierbar, so auch exp (A)
>
> (iii) Benutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um exp(A)
> für
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 }[/mm]
> zu
> bestimmen.
Versuch doch mal bitte, den Formeleditor ein wenig oefter zu benutzen, damit sowas wie [mm] $\parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] \sum_{i,j} |a_{ij}|$ [/mm] etwas lesbarer wird...
Es gilt uebrigen [mm] $\parallel [/mm] A B [mm] \parallel \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel \cdot \parallel [/mm] B [mm] \parallel$ [/mm] und i.A. nicht $<$.
> Ja, schon wieder ich!
> Hab mich an der Aufgabe versucht und schon mit
> hinschreiben der Summe und abschätzen mit kleiner gleich
> versucht auf nen grünen Zweig zu kommen aber der scheint
> mir in unerreichbarer Ferne zu liegen.
Weisst du, dass [mm] $\parallel \bullet \parallel$ [/mm] eine Norm ist? Bezueglich dieser ist der Raum der Matrizen vollstaendig. Du kannst insbesondere also das Cauchy-Kriterium fuer Reihen anwenden.
Wenn du nun [mm] $\parallel A^k \parallel$ [/mm] hast, dann ist das mit der Norm-Eigenschaft von oben [mm] $\le \parallel [/mm] A [mm] \parallel^k$ [/mm] (das bekommst du schnell per Induktion). Also ist [mm] $\parallel \sum_{i=k}^n A^i \parallel \le \sum_{i=k}^n \parallel [/mm] A [mm] \parallel^i$.
[/mm]
So. Jetzt denk mal an die Reihe zu [mm] $\exp \parallel [/mm] A [mm] \parallel$. [/mm] Die konvergiert ja bekanntlich. Kannst du mit der was machen?
LG Felix
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