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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Di 27.11.2007 | | Autor: | APinUSA |
| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{x^2+6x+15}{2x+6}
[/mm]
Untersuche die Funktion:
- Definitonsbereich
- Grenzwerte (Luecken oder Polstelle)
- Nullstelle
- Grenzwerte im [mm] \infty
[/mm]
- [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] : [mm] \varepsilon=0.0001 [/mm] |
Eigendlich glaube ich komme ich bis zu der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] ganz gut zurecht:
1) Df [mm] \in\IR \setminus [/mm] {-3}
2) Polinomdivision ergibt einen Rest [mm] \Rightarrow [/mm] es ist eine Polasymptote vorhanden.
[mm] \Rightarrow x_{p}= [/mm] -3
3)Nullstellen (der Zaehler muss Null gesetzt werden)
[mm] x_{0}= x^2+6x+15 [/mm]
[mm] x_{0}= \wurzel{-2.5}-mal [/mm] eine ander Frage, kann man auch fuer [mm] \wurzel{-2.5} [/mm] folgendes schreiben [mm] -(\wurzel{2.5})?
[/mm]
[mm] 4)\limes_{n\rightarrow-3} =\vektor- \\ [/mm] + [mm] \infty
[/mm]
[mm] 5)\limes_{n\rightarrow -\infty}= -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \infty
[/mm]
Durch Polynomdivision erhielt ich die Funktion der Asymptote:
y=0.5x+1.5
6) Soweit so gut doch jetzt bei der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung (0.0001) komm ich nicht mehr ganz Zurecht.
Wenn jetzt die Asymptote im [mm] \infty [/mm] 3 waere, also die Funktion sich immer mehr der 3 annaehern wuerde (fuer immer kleiner bzw groesser werdende x) muesste man also 3+0.0001 und 3-0.0001 rechnen und dann die Funktion danach Umstellen - Richtig soweit?
Doch jetzt wo die Asymptot nicht nur eine Zahl ist - sondern noch ein x hat, ist es irgendwie nicht mehr so einfach.
Hab gerechnet:(Asymptote: y=0.5x+1.5)
[mm] y+\varepsilon= [/mm] 0.5x+(1.5+0.0001) = 0.5x+1.5001
[mm] y-\varepsilon= [/mm] 0.5x+(1.5-0.0001) = 0.5x+1.4999
Doch wie jetzt weiter?
Ich habe diese Frage niegendwo anders gestellt.
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 27.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hailo
> f(x)= [mm]\bruch{x^2+6x+15}{2x+6}[/mm]
>
> Untersuche die Funktion:
> - Definitonsbereich
> - Grenzwerte (Luecken oder Polstelle)
> - Nullstelle
> - Grenzwerte im [mm]\infty[/mm]
> - [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] : [mm]\varepsilon=0.0001[/mm]
> Eigendlich glaube ich komme ich bis zu der
> [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] ganz gut zurecht:
>
> 1) Df [mm]\in\IR \setminus[/mm] {-3}
> 2) Polinomdivision ergibt einen Rest [mm]\Rightarrow[/mm] es ist
> eine Polasymptote vorhanden.
> [mm]\Rightarrow x_{p}=[/mm] -3
Korrekt
>
> 3)Nullstellen (der Zaehler muss Null gesetzt werden)
> [mm]x_{0}= x^2+6x+15[/mm]
> [mm]x_{0}= \wurzel{-2.5}-mal[/mm] eine ander Frage, kann man auch
> fuer [mm]\wurzel{-2.5}[/mm] folgendes schreiben [mm]-(\wurzel{2.5})?[/mm]
Nein, die Wurzel aus einer negativen Zahl kann ich nicht ziehen, es gibt also keine Lösung für [mm] 0=x^2+6x+15
[/mm]
>
> [mm]4)\limes_{n\rightarrow-3} =\vektor- \\[/mm] + [mm]\infty[/mm]
> [mm]5)\limes_{n\rightarrow -\infty}= -\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= \infty[/mm]
Sieht gut aus
> Durch Polynomdivision
> erhielt ich die Funktion der Asymptote:
> y=0.5x+1.5
>
> 6) Soweit so gut doch jetzt bei der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung
> (0.0001) komm ich nicht mehr ganz Zurecht.
> Wenn jetzt die Asymptote im [mm]\infty[/mm] 3 waere, also die
> Funktion sich immer mehr der 3 annaehern wuerde (fuer immer
> kleiner bzw groesser werdende x) muesste man also 3+0.0001
> und 3-0.0001 rechnen und dann die Funktion danach Umstellen
> - Richtig soweit?
> Doch jetzt wo die Asymptot nicht nur eine Zahl ist -
> sondern noch ein x hat, ist es irgendwie nicht mehr so
> einfach.
>
> Hab gerechnet:(Asymptote: y=0.5x+1.5)
>
> [mm]y+\varepsilon=[/mm] 0.5x+(1.5+0.0001) = 0.5x+1.5001
>
> [mm]y-\varepsilon=[/mm] 0.5x+(1.5-0.0001) = 0.5x+1.4999
>
> Doch wie jetzt weiter?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mach es mal anders. Berechne mal die Differenzfunktion d(x) zwischen f(x) und der Asymptote a(x).
Da f(x) im Unendlichen grösser ist, als a(x), berechne mal d(x)=f(x)-a(x)
Und jetzt berechne, wann diese Differenz kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Also:
[mm] \varepsilon>f(x)-a(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow0.001>\bruch{x^2+6x+15}{2x+6}-0.5x-1.5
[/mm]
Und daraus berechnest du jetzt mal dein x
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 27.11.2007 | | Autor: | APinUSA |
| Aufgabe | | [mm] \varepsilon [/mm] >f(x)-a(x) |
Hallo Danke fuer den Ansatz!
Wollt ausserdem mal Fragen wie man hier die tolle Funktionen zeichnen lassen kann? Wusste ich garnicht das die Seite auch Grph Funktionen anzeigen kann.
Zum zweiten eine andere Frage - was ist d(x) fuer eine Funktion???? Auch mit dem Wort Differenzfunktion kann ich nicht soviel Anfangen.
Also ist die "Flaeche" wo die Funktion f(x) dann in die [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung "reinrutscht"?
Bekomme ich diese immer raus in dem ich f(x) - a(x) rechne??
So nun zu meinem Loesungsweg. Hab es leider nicht ganz geschaft:
[mm] \varepsilon [/mm] > f(x)-a(x)
[mm] 0.0001>\bruch{x^2+6x+15}{2x+6} [/mm] - 0.5x-1.5 / *(2x+6)
0.0002x + 0.0006 > [mm] x^2+5.5x+16.5 [/mm] / -0.0006
0.0002x> [mm] x^2+5.5x+16.4994 [/mm] /-5.5x
[mm] -5.4998x>x^2+16.4994 /-x^2
[/mm]
[mm] -x^2-5.4998x>16.4994 [/mm] / *(-1)
[mm] x^2+5.4998x< [/mm] - 16.4994 / [mm] \wurzel{}
[/mm]
x+ [mm] \wurzel{5.4998}x< \wurzel{-16.4994} [/mm] / : [mm] \wurzel{5.4998}
[/mm]
x+x [mm] <\bruch{\wurzel{-16.4994}}{\wurzel{5.4998}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x< [mm] \bruch{\wurzel{-16.4994}}{\wurzel{5.4998}} [/mm] wenn ich das allerdings noch durch die 2 teile, kommt rund 0.8660 raus.
Sowohl in deiner Zeichnung als auch im GTR ist zu erkennen, dass die Zahl weit aus groesser als 0, sein muss.
Hatte deshalb mit einer viel groesseren Zahl gerechnet und bin mir ziemlich sicher das es falsch ist :-(
Mfg Maria
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Hallo!
Graphen plotten kann man hier eigentlich nicht. Aber es hindert dich niemand daran, hier ein Bild einzufügen: Einfach [img]attach:332906:1[/img] eingeben, und nach dem Abschicken kannst du ein Bild hochladen.
Zu der Differenzfunktion: Eigentlich wurde das recht anschaulich erklärt. Du hast die rote Funktion f(x) und die grüne Asymptote, die mit a(x) bezeichnet wurde. Gefragt ist, wann die y-Werte beider Funktionen sich um weniger als [mm] \epsilon [/mm] unterscheiden. Also [mm] f(x)-a(x)<\epsilon.
[/mm]
Diese Differenz f(x)-a(x) ist eine Größe, die natürlich auch von x abhängig ist, und wurde hier mit d(x) bezeichnet.
Wenn ich dir einen Tipp geben darf: Du hast doch hier eine Polynomdivision durchgeführt, um die Asymptote zu berechnen:
$f(x)= [mm] \green{mx+b} [/mm] + [mm] \blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}$
[/mm]
Raus kommt die Grade (grün) und ein Rest, der als Bruch da steht (blau).
Und jetzt schreiben wir mal so:
[mm] $f(x)-\green{mx+b}= \blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}$
[/mm]
Der linke Teil ist also genau diese Differenzfunktion Du mußt also jetzt berechnen
[mm] $\epsilon=\blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}$
[/mm]
Einfacher, oder?
Bedenke aber auch, daß diese Differenz negativ werden kann (Im Plotsiehst du, daß mal die Funktion und mal die Grade oben liegt...)
Du mußt also auch
[mm] $\epsilon=-\left(\blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}\right)$
[/mm]
berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Di 27.11.2007 | | Autor: | APinUSA |
Also hab das jetzt mal probiert. Sieht natuerlich wirklich einfacher aus.
Bei pos. x:
[mm] \bruch{x^2+6x+15}{2x+6}-0.5x-1.5=6 [/mm] (da der rest nur 6 ist) / * (2x+6)
vereinfachen:
[mm] x^2+5.5x=12x+36 [/mm] / -12x
[mm] x^2-6.5x=36 [/mm] / [mm] \wurzel{}
[/mm]
wenn ich jetzt aus der -6.5 die Wurzel ziehe und aus der 36
und dann
[mm] \bruch{\wurzel{36}}{\wurzel{6.5}} [/mm] erhalte ich
fuer positive x Werte = 0.4249
Was wohl auch wieder zu klein ist.
Oder es ist richtig und ich glaube es nur nicht weil es in der Abildung doch ganz anders aussieht.
-Gruebel-
Aber trotzdem super Lob an die Seite sind echt alle total Hilfsbereit und nett 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also hab das jetzt mal probiert. Sieht natuerlich wirklich
> einfacher aus.
> Bei pos. x:
>
> [mm]\bruch{x^2+6x+15}{2x+6}-0.5x-1.5=6[/mm] (da der rest nur 6 ist)
> / * (2x+6)
dies =6 ist nicht sinnvoll
Du willst doch die Differenz zwischen Funktion [mm] \bruch{x^2+6x+15}{2x+6}
[/mm]
und Assymptote 0.5x+1.5 berechnen und feststellen ab welchem x diese Differenz kleiner [mm] \epsilon, [/mm] hier 0,01 ist.
Du hast den Wert gesucht, wo die Differenz 6 ist!
also [mm][mm] \bruch{x^2+6x+15}{2x+6}-0.5x-1.5<0.01
[/mm]
dazu erstmal das x ausrechnen wo es =0,01 ist.
Eventhorizont hat ja schon beschrieben, was du davon schon hast.
> vereinfachen:
>
> [mm]x^2+5.5x=12x+36[/mm] / -12x
das ist falsch! was du gerechnet hast versteh ich nicht! [mm] (-0.5x-1,5)*(2x+6)=x^2+... [/mm] also fällt schon mal [mm] x^2 [/mm] weg!
>
> [mm]x^2-6.5x=36[/mm] / [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> wenn ich jetzt aus der -6.5 die Wurzel ziehe und aus der
aus -6,5 kann man keine Wurzel ziehen!!!!!!
denn das Quadrat der Wurzel müsste ja ne negative Zahl sein, und das gibt es nicht! (was du festgestellt hättest, wenn deine Rechnung richtig wäre (ist sie aber nicht) dass es kein x gibt, so dass der Abstand 6 ist.)
Hattest du nicht kurz vorher gefragt, ob man so Wurzeln aus neg, Zahlen ziehen kann? Du musst doch ein bissel auf das hörn, was du als Antwort kriegst!!
Gruss leduart
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Hallo!
Graphen plotten kann man hier eigentlich nicht. Aber es hindert dich niemand daran, hier ein Bild einzufügen: Einfach [.img]1[./img] ohne den Punkt eingeben, und nach dem Abschicken kannst du ein Bild hochladen.
Zu der Differenzfunktion: Eigentlich wurde das recht anschaulich erklärt. Du hast die rote Funktion f(x) und die grüne Asymptote, die mit a(x) bezeichnet wurde. Gefragt ist, wann die y-Werte beider Funktionen sich um weniger als [mm] \epsilon [/mm] unterscheiden. Also [mm] f(x)-a(x)<\epsilon.
[/mm]
Diese Differenz f(x)-a(x) ist eine Größe, die natürlich auch von x abhängig ist, und wurde hier mit d(x) bezeichnet.
Wenn ich dir einen Tipp geben darf: Du hast doch hier eine Polynomdivision durchgeführt, um die Asymptote zu berechnen:
$f(x)= [mm] \green{mx+b} [/mm] + [mm] \blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}$
[/mm]
Raus kommt die Grade (grün) und ein Rest, der als Bruch da steht (blau).
Und jetzt schreiben wir mal so:
[mm] $f(x)-\green{mx+b}= \blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}$
[/mm]
Der linke Teil ist also genau diese Differenzfunktion Du mußt also jetzt berechnen
[mm] $\epsilon=\blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}$
[/mm]
Einfacher, oder?
Bedenke aber auch, daß diese Differenz negativ werden kann (Im Plotsiehst du, daß mal die Funktion und mal die Grade oben liegt...)
Du mußt also auch
[mm] $\epsilon=-\left(\blue{\frac{\ast\ast\ast}{\ast\ast\ast}}\right)$
[/mm]
berechnen.
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