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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Sa 18.12.2021 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
f(x) = [mm] 3*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} -4*e^{\bruch{1}{2}*x-5} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] [0;6]
1. Bilde die ersten beiden Ableitungen und eine Stammfunktion.
2. Zeige, dass die Funktion monoton fallend ist.
3. Bestimme die Nullstelle von f.
4. An welchen Stellen ist die Steigung der Funktion am größten bzw. kleinsten? |
Moin Moin,
in erster Linie geht es mir um Aufgabe 4.
zu 1.
f ' (x) = [mm] -1,5*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} -2*e^{\bruch{1}{2}*x-5}
[/mm]
f '' (x) = [mm] 0,75*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} -e^{\bruch{1}{2}*x-5}
[/mm]
=>
F(x) = [mm] 3*e^{-\bruch{1}{2}*x+1}*\bruch{1}{-\bruch{1}{2}} -4*e^{\bruch{1}{2}*x-5}*\bruch{1}{\bruch{1}{2}}
[/mm]
F(x) = [mm] -6*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} -8*e^{\bruch{1}{2}*x-5}
[/mm]
zu 2.
Da f ' (x) für jedes x [mm] \in [/mm] [0;6] [für jedes x [mm] \in \IR] [/mm] kleiner als Null ist, beide Summanden sind hier stets negativ, ist f streng monoton fallend.
zu 3.
f (x) = 0
[mm] 3*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} -4*e^{\bruch{1}{2}*x-5} [/mm] = 0
[mm] 3*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} [/mm] = [mm] 4*e^{\bruch{1}{2}*x-5} [/mm]
[mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{2}*x-5}}{e^{-\bruch{1}{2}*x+1}} [/mm]
[mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] e^{x-6} [/mm]
[mm] ln(\bruch{3}{4}) [/mm] = x -6
x [mm] \approx [/mm] 5,71
zu 4.
a) Ich habe gelernt, dass die Stellen, an denen sich die Steigung am stärksten verändert, die Wendestellen sind. Also ermittle ich zunächst die Wendestellen.
Richtig? Oder kann ich diese Betrachtung gleich weglassen?
b) Darüber hinaus muss ich hier die globalen Extrema bzw. die Randextrema
von f ' betrachten. Da, absolut gesehen, an den Rändern die Steigung noch stärker schwanken könnte, als an den Wendestellen.
Richtig?
4 a) Wendestellen
f '' (x) = 0
[mm] 0,75*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} -e^{\bruch{1}{2}*x-5} [/mm] = 0
[mm] 0,75*e^{-\bruch{1}{2}*x+1} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{2}*x-5} [/mm]
0,75 = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{2}*x-5}}{e^{-\bruch{1}{2}*x+1}}
[/mm]
0,75 = [mm] e^{x-6} [/mm]
=> x [mm] \approx [/mm] 5,71
Da f ''' (x) für alle x [mm] \in [/mm] [0;6] kleiner als 0 ist, ist bei x [mm] \approx [/mm] 5,71 eine Wendestelle.
D.h. die Nullstelle von f ist gleichzeitig auch die Wendestelle ?!
f ' (5,71) [mm] \approx [/mm] - 0,469
4 b) Randextrema
f ' (0) [mm] \approx [/mm] -4,091
f ' (6) [mm] \approx [/mm] -0,474
=> An der Stelle x = 0 ist die Steigung der Funktion am kleinsten, bzw. x = 0 ist die Stelle mit der größten Abnahme.
???
Danke & Gruß!
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Hiho,
vorweg: Es passt alles.
> a) Ich habe gelernt, dass die Stellen, an denen sich die
> Steigung am stärksten verändert, die Wendestellen sind.
> Also ermittle ich zunächst die Wendestellen.
>
> Richtig? Oder kann ich diese Betrachtung gleich weglassen?
Ja, gesucht sind hier die Extremstellen der 1. Ableitung, dies sind die Wendestellen der Ausgangsfunktion. Zusätzlich sind noch die Randstellen zu prüfen.
>
>
> b) Darüber hinaus muss ich hier die globalen Extrema bzw.
> die Randextrema von f ' betrachten. Da, absolut gesehen, an den Rändern
> die Steigung noch stärker schwanken könnte, als an den
> Wendestellen.
Ja, also letztendlich suchst du die globalen Extrema der 1. Ableitung. Siehe oben.
> D.h. die Nullstelle von f ist gleichzeitig auch die Wendestelle ?!
Das tolle an der Mathematik: Du hast es so ausgerechnet, dann stimmt das auch so.
> f ' (5,71) [mm]\approx[/mm] - 0,469
>
>
> 4 b) Randextrema
>
>
> f ' (0) [mm]\approx[/mm] -4,091
>
> f ' (6) [mm]\approx[/mm] -0,474
>
> => An der Stelle x = 0 ist die Steigung der Funktion am
> kleinsten, bzw. x = 0 ist die Stelle mit der größten
> Abnahme.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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