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e-Funktion: Flächeninhalt berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 So 08.07.2007
Autor: data86

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f(x)=4*e^(-0,5*x) mit x Element R.
1.: Weisen Sie nach, dass der Graph f genau einen Schnittpunkt mit einer der Koordinatenachsen hat.
2.: Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie hin.
3.: Zeichnen Sie den Graphen im Intervall von -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 6
4.: Vervollständigen Sie die Wertetabelle:
x:-1;...;...;6
y:...; 6; 3 ;...
5.: Der Graph der Funktion f, die Koordinatenachsen und die Gerade der Gleichung g(x)=2 begrenzen die Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

wir haben diese Aufgabe im Unterricht angefangen und sollen sie zu Hause beenden. Sie müsste aus dem sachsen-anhaltinischen Matheabitur von 1996 stammen. Allerdings nur auszugsweise.
Die Aufgaben 1-4 konnte ich soweit lösen - nur mit der fünften Aufgabe tue ich mich schwer. Mein ganzer Sonntag ist heute beim Lösungsversuch draufgegangen...es ist zum Haareraufen.

Ich geb sicherheitshalber mal meine Wertetabelle an - wenn man sich die Fkt skizziert bekommt man ein besseres Verständnis:

x: -1; -0,8; 0,6; 6 ; 0  ;  1   ;   2  ;   3   ;   4   ; 5
y:6,6; 6   ;  3  ;0,2;4  ;  2,4 ;1,5 ;  0,9  ;  0,5 ; 0,3


Zuallererst habe ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen f und g berechnet:
f(x)=g(x)
4*e^(-0,5*x) = 2             |:4
e^(-0,5*x) = 0,5          | ln
ln e^(-0,5*x) = ln 0,5
-0,5*x*ln [mm] e^1 [/mm] = ln 0,5      |:ln [mm] e^1 [/mm] |*(-2)
x = (ln 0,5)/(ln [mm] e^1) [/mm] * (-2)
x = 1,39
======

Aufgrund der Zeichnung im angegebenen Intervall habe ich mich entschieden den Flächeninhalt A(gesamt) auf A(1) und A(2) zu bestimmen.

A(1) berechnet sich wie ein Rechteck: x*g(x) = 1,39*2 = 2,78FE
oder mit Hilfe des Integrals: [mm] \int_{0}^{1,39} 2\, dx = 2,78FE [/mm]

Nun der zweite Flächeninhalt A(2):

[mm] \int_{1,39}^{6} 4*e^(-0,5*x)\, dx = 4* \int_{1,39}^{6} e^(-0,5*x)\, dx = 4*[-2*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6} =[-8*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6} =-0,4+4=3,6FE [/mm]
===========

So, da liegt mein Problem! Der Wert könnte zwar Pi mal Daumen stimmen, wenn man ihn mit der Zeichnung vergleicht, aber mich macht die -0,4 stutzig. Die würde ja bedeuten, dass die Funktion in den Grenzen von 0 bis 6 einen Flächeninhalt von -0,4 (!!) hätte, oder versteh ich das falsch?

Beim Integrieren bin ich von folgendem Gesetz ausgegangen:

f(x)=a*e^(k*x)
F(x)=(a/k)*e^(k*x)

Es wäre schön, wenn ihr Licht in mein mathematisches Dunkel bringen könntet :)


Shalom

data86

PS: Falls es notwendig sein sollte, kann ich auch meinen Lösungsansatz abscannen und online stellen,


        
Bezug
e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 So 08.07.2007
Autor: Kroni

Hi,

zunächst einmal der Graph der Funktion:

[Dateianhang nicht öffentlich]


> Zuallererst habe ich den Schnittpunkt der beiden Funktionen
> f und g berechnet:
>  f(x)=g(x)
>  4*e^(-0,5*x) = 2             |:4
>  e^(-0,5*x) = 0,5          | ln
>  ln e^(-0,5*x) = ln 0,5
>  -0,5*x*ln [mm]e^1[/mm] = ln 0,5      |:ln [mm]e^1[/mm] |*(-2)
>  x = (ln 0,5)/(ln [mm]e^1)[/mm] * (-2)
>  x = 1,39
>  ======
>  

Hier solltest du eg schreiben: [mm] $x=2\ln(2)$ [/mm] und damit auch weiterrechnen.
>

> Aufgrund der Zeichnung im angegebenen Intervall habe ich
> mich entschieden den Flächeninhalt A(gesamt) auf A(1) und
> A(2) zu bestimmen.
>  
> A(1) berechnet sich wie ein Rechteck: x*g(x) = 1,39*2 =
> 2,78FE
>  oder mit Hilfe des Integrals: [mm]\int_{0}^{1,39} 2\, dx = 2,78FE[/mm]

Das mit dem Rechteck, ist deutlich geschickter. Dann schreib aber bitte [mm] $A=x*g(x)=2\ln(2)\cdot 2=4\ln(2)$. [/mm]

>  
> Nun der zweite Flächeninhalt A(2):
>  
> [mm]\int_{1,39}^{6} 4*e^(-0,5*x)\, dx = 4* \int_{1,39}^{6} e^(-0,5*x)\, dx = 4*[-2*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6} =[-8*e^(-0,5*x)] {in den Grenzen von 1,39 und 6} =-0,4+4=3,6FE[/mm]
>  
> ===========

Warum willst du hier bis nach 6 integrieren? Da nach der Fläche gefragt ist, die die Kurve und deine Gerade mit den K.Achsen einschließt, und dein Graph die x-Achse nur asymptotisch nähert, kannst du keine feste Grenze angeben. Du musst die obere Grenze variabel lassen (die du dann meinetwegen b nennen kannst). Dann kannst du hinterher den Grenzwert bestimmen, wenn b gegen Unendlich strebt.

Also solltest du berechnen:

[mm] $A_2=\int_{2\ln(2)}^b{4e^{-0.5x}dx}$ [/mm]

>  
> So, da liegt mein Problem! Der Wert könnte zwar Pi mal
> Daumen stimmen, wenn man ihn mit der Zeichnung vergleicht,
> aber mich macht die -0,4 stutzig. Die würde ja bedeuten,
> dass die Funktion in den Grenzen von 0 bis 6 einen
> Flächeninhalt von -0,4 (!!) hätte, oder versteh ich das
> falsch?

Da musst du dich dann verrechnet haben!
Ich bin aber zu faul, mir deine Rechnugn nochmal genau anzusehen, weil der Gedankengang bis zu 6 zu integrieren m.E. falsch ist (wie kommst du darauf?

>  
> Beim Integrieren bin ich von folgendem Gesetz ausgegangen:
>  
> f(x)=a*e^(k*x)
>  F(x)=(a/k)*e^(k*x)

Ja, das ist okay:

[mm] $F'(x)=\frac{a}{k}\cdot [/mm] k [mm] \cdot e^{kx}=f(x)$ [/mm]

>  
> Es wäre schön, wenn ihr Licht in mein mathematisches Dunkel
> bringen könntet :)

Ich hoffe, ich habe dir zunächst einmal helfen können=) Bei weiteren Fragen melde dich einfach nochmal=)

>  
>
> Shalom
>  
> data86
>  
> PS: Falls es notwendig sein sollte, kann ich auch meinen
> Lösungsansatz abscannen und online stellen,
>  

Danke für das Angebot, aber zunächst ist das nicht erforderlich.

LG

Kroni

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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