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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 09.05.2006 | | Autor: | arual |
| Aufgabe | Die Temperatur T(t) eines Körpers verändert sich in Abhängigkeit von der Zeit t nach folgendem Gesetz:
[mm] T(t)=50+150*e^{-kt}; [/mm] k>0;(Zeit t in min; Temperatur T(t) in °C).
1) Zeigen Sie, dass es sich um einen Abkühlungsvorgang handelt.
2) Welche Temperaturen kann der Körper für [mm] t\ge0 [/mm] annehmen?
3) Berechnen Sie k auf drei Dezimalzahlen gerundet, wenn sich der Körper in den ersten 35 min auf 62,9°C abgekühlt hat.
4)Ab welchem Zeitpunkt nimmt für dieses k die Temperatur des Körpers in einer Minute um weniger als 2 Grad ab? |
Hallöle!
Hab versucht diese Aufgaben zu lösen. Ich wäre für Hilfe sehr dankbar, brauche bei manchen einen Tipp und sonst Kontrolle:
1) wenn t größer wird, wird T(t) kleiner, weil [mm] e^{-kt} [/mm] kleiner wird und dadurch der ganze Term
Reicht das so? Bzw. ist das richtig?
2) Hier habe ich keine Anhnung wie man das machen soll. Ich hatte gedacht vielleicht, dass Maximum ausrechnen, aber da stört das k irgendwie!?
3) Hier ist mein Ergebnis k=4,206. Ist das richtig?
4) Hier hab ich wirklich keinen blassen Schimmer. Wäre dankbar für einen Vorschlag.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
LG arual
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Arual
> Die Temperatur T(t) eines Körpers verändert sich in
> Abhängigkeit von der Zeit t nach folgendem Gesetz:
> [mm]T(t)=50+150*e^{-kt};[/mm] k>0;(Zeit t in min; Temperatur T(t)
> in °C).
> 1) Zeigen Sie, dass es sich um einen Abkühlungsvorgang
> handelt.
> 2) Welche Temperaturen kann der Körper für [mm]t\ge0[/mm]
> annehmen?
> 3) Berechnen Sie k auf drei Dezimalzahlen gerundet, wenn
> sich der Körper in den ersten 35 min auf 62,9°C abgekühlt
> hat.
> 4)Ab welchem Zeitpunkt nimmt für dieses k die Temperatur
> des Körpers in einer Minute um weniger als 2 Grad ab?
> Hab versucht diese Aufgaben zu lösen. Ich wäre für Hilfe
> sehr dankbar, brauche bei manchen einen Tipp und sonst
> Kontrolle:
>
> 1) wenn t größer wird, wird T(t) kleiner, weil [mm]e^{-kt}[/mm]
> kleiner wird und dadurch der ganze Term
> Reicht das so? Bzw. ist das richtig?
richtig schon, besser weil T' negativ ist, also ne fallende fkt.
> 2) Hier habe ich keine Anhnung wie man das machen soll. Ich
> hatte gedacht vielleicht, dass Maximum ausrechnen, aber da
> stört das k irgendwie!?
wegen a liegt das Max bei t=0, das Min bei t gegen unendlich also bei 50 was aber nie erreicht wird.
> 3) Hier ist mein Ergebnis k=4,206. Ist das richtig?
Sehr falsch, setz es doch mal ein, dannbekommst du auf mehrere stellen 50,000 raus und nicht 62.
> 4) Hier hab ich wirklich keinen blassen Schimmer. Wäre
> dankbar für einen Vorschlag.
Setz ne Zeit tx in T(t)ein und (tx+2) bild die Differenz, die soll kleiner gleich 2 sein. nach tx auflösen
ungefähre Lösung, T'(tx)=-2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 09.05.2006 | | Autor: | arual |
Danke für deine Antwort!
Ich habe noch einige Fragen:
Könntest du mir 2) noch näher erklären? Das t=0 Maximum sein muss, ist ja klar, weil die Funktion danach fällt. Aber wie kriege ich das ausgerechnet und wie kommst du auf das Minimum? Ich habe
[mm] T'(t)=-150*k*e^{-kt}. [/mm] Ist das richtig? Wenn ich das jetzt null setze, wie komme ich da auf Minimum gleich 50? Oder muss ich das ganz anders machen?
Bei 3. komme ich jetzt auf das Ergebnis k=0,07? Richtig? Ich hatte mich vorher irgendwie verrechnet!?
4) Das hab ich noch nicht verstanden, was du meinst. Wäre nett, wenn du mir das etwas genauer erklären würdest. :D
Vielen Dank.
LG arual
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Hallo arual!
> Könntest du mir 2) noch näher erklären? Das t=0 Maximum
> sein muss, ist ja klar, weil die Funktion danach fällt.
> Aber wie kriege ich das ausgerechnet und wie kommst du auf
> das Minimum? Ich habe
> [mm]T'(t)=-150*k*e^{-kt}.[/mm] Ist das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber diese Ableitung hat ja keine Nullstellen, da für alle $t \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm] gilt: [mm] $T_k'(t) [/mm] \ < \ 0$.
Das notwendige Kriterium ist also nicht erfüllt. Von daher musst Du Dir hier mal die Ränder des Definitionsbereiches [mm] $D_t [/mm] \ = \ [mm] \IR_0^+ [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ 0 \ \le \ t \ < \ \infty \ \right\}$ [/mm] ansehen. Also den Wert [mm] $T_k(0)$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{t\rightarrow\infty}T_k(t)$ [/mm] .
Und da solltest Du feststellen, dass der größte Funktionswert bei $t \ = \ 0$ auftritt.
> Bei 3. komme ich jetzt auf das Ergebnis k=0,07? Richtig?
Richtig!
> 4) Das hab ich noch nicht verstanden, was du meinst. Wäre
> nett, wenn du mir das etwas genauer erklären würdest. :D
Ermittle hier die Differenz der Funktionswerte zum Zeitpunkt [mm] $t_0$ [/mm] und eine Minute später:
[mm] $T(t_0)-T(t_0+1) [/mm] \ = \ [mm] \left[50+150*e^{-0.07*t_0}\right]-\left[50+150*e^{-0.07*(t_0+1)}\right] [/mm] \ = \ [mm] 50+150*e^{-0.07*t_0}-50-150*e^{-0.07*t_0-0.07} [/mm] \ = \ ... \ < \ 2$
Und nun nach [mm] $t_0 [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 10.05.2006 | | Autor: | arual |
Danke roadrunner!
Ich hab die Lösungen jetzt alle hinbekommen und wir haben sie auch im Unterricht heute verglichen.
Also nochmal vielen Dank für dein gutes Erklären.
LG arual
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