dreiseitige Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 18.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Die Punkte A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2/4/1), D(1/3/7) bestimmen eine dreiseitige Pyramide.
a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene durch die Punkte A, B, C
b) Berechnen sie den Abstand des Punktes C von der GEraden durch A und B
c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD
d) Bestimmen sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks ABC
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Hallo!
also mein Hauptprolem bei dieser Aufgabe is eigentlich a)
Ich habe zunächst die Ebenengleichung aufgestellt: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+r*\vektor{-2\\5\\-1}+s\vektor{-4\\3\\1}
[/mm]
dann den Normalenvektor berechnet: [mm] \vec{n}=\vektor{8\\6\\14}
[/mm]
und um jetzt den Abstand zur Spitze D berechnen zu können, muss ja ersteinmal den Mittelpunkt des Dreiecks berechnen. Aber irgendwie hakt das da bei mir
[mm] \vec{m} [/mm] = [mm] \vec{a}+\bruch{2}{3}*\vec{AM}
[/mm]
[mm] \vec{AM}=\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{C_{MA}}
[/mm]
naja und hier komme ich halt nicht weiter.
b) hier wäre es sehr nett, wenn mal jemand kontrollieren könnte, ob ich richtig gerechnet habe. bekomme nämlich ganz krumme zahlen heraus
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+t\vektor{-2\\5\\-1} [/mm] , C(-2/4/1)
1. E: [mm] -2x_{1}+5x_{2}-x_{3}=23
[/mm]
2. -2*(2-2t)+5*(1+5t)+t=23
[mm] t=\bruch{22}{30}
[/mm]
--> [mm] F(\bruch{8}{15}/4\bruch{2}{3}/\bruch{22}{30})
[/mm]
3. [mm] d=|\vec{CF}|\approx [/mm] 3
c) hier brauch ich ja ers noch die höhe aus a)
d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch alle Innenwinkel
über die allgemeine Formel [mm] cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}
[/mm]
oder?
bin für jede hilfe dankbar
Gruß Karlchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 18.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die Punkte A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2/4/1), D(1/3/7)
> bestimmen eine dreiseitige Pyramide.
>
> a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D von der Ebene
> durch die Punkte A, B, C
>
> b) Berechnen sie den Abstand des Punktes C von der GEraden
> durch A und B
>
> c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCD
>
> d) Bestimmen sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks
> ABC
>
> Hallo!
>
> also mein Hauptprolem bei dieser Aufgabe is eigentlich a)
>
> Ich habe zunächst die Ebenengleichung aufgestellt:
> [mm]\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+r*\vektor{-2\\5\\-1}+s\vektor{-4\\3\\1}[/mm]
>
> dann den Normalenvektor berechnet:
> [mm]\vec{n}=\vektor{8\\6\\14}[/mm]
Bis hierher korrekt.
>
> und um jetzt den Abstand zur Spitze D berechnen zu können,
> muss ja ersteinmal den Mittelpunkt des Dreiecks berechnen.
> Aber irgendwie hakt das da bei mir
>
> [mm]\vec{m}[/mm] = [mm]\vec{a}+\bruch{2}{3}*\vec{AM}[/mm]
>
> [mm]\vec{AM}=\bruch{1}{2}\vec{a}-\bruch{1}{3}\vec{C_{MA}}[/mm]
Das ginge auch. Allerdinsg braucsht du dafür unglaublich viele Hilfspunkte.
Einfacher ist es aber die Hilfsgerade [mm] g:\vec{x}=\vec{d}+\lambda*\vec{n} [/mm] zu bestimmen (Also durch die Spitze D und senkrecht zu E)
Berechne jetzt mal den Schnittpunkt von E und g - nennen wir ihn F - indem du g in die Koordinatenform der Ebene einsetzt. Dann ergibt sich eine Gleichung mit der [mm] Variable\lambda, [/mm] mit dem di dann in g eingesetzt, F ermittelt. Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{DF} [/mm] ist dann der gesuchte Abstand.
Also:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\3\\7}+\lambda*\vektor{8\\6\\14}
[/mm]
Koordinatenform:von [mm] E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=8*\red{2}+6*\red{1}+12*\red{0}
[/mm]
[mm] \gdw E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=22
[/mm]
[mm] \gdw E:4x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=11
[/mm]
Koordinaten von A
g in E einsetzen:
[mm] 4(1+8\lambda)+3(3+6\lambda)+6(7+14\lambda)=11
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=...
[/mm]
>
> naja und hier komme ich halt nicht weiter.
>
> b) hier wäre es sehr nett, wenn mal jemand kontrollieren
> könnte, ob ich richtig gerechnet habe. bekomme nämlich ganz
> krumme zahlen heraus
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{2\\1\\0}+t\vektor{-2\\5\\-1}[/mm] , C(-2/4/1)
>
> 1. E: [mm]-2x_{1}+5x_{2}-x_{3}=23[/mm]
>
> 2. -2*(2-2t)+5*(1+5t)+t=23
> [mm]t=\bruch{22}{30}[/mm]
>
> --> [mm]F(\bruch{8}{15}/4\bruch{2}{3}/\bruch{22}{30})[/mm]
>
> 3. [mm]d=|\vec{CF}|\approx[/mm] 3
Ich finde hier auf den ersten Blick keine Fehler. Lass aber den Wurzelterm als Ergebnis stehen.
>
> c) hier brauch ich ja ers noch die höhe aus a)
Die hast du jetzt ja.
>
> d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch
> alle Innenwinkel
>
> über die allgemeine Formel
> [mm]cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
>
> oder?
Genau damit.
>
> bin für jede hilfe dankbar
> Gruß Karlchen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 18.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
erst einmal ganz lieben Dank!^^
[mm]E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=8*\red{2}+6*\red{1}+12*\red{0}[/mm]
> [mm]\gdw E:8x_{1}+6x_{2}+12x_{3}=22[/mm]
> [mm]\gdw E:4x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=11[/mm]
>
> Koordinaten von A
hier hätte man doch genauso gut die Koordinaten von B oder C nehmen können, oder?
> > d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch
> > alle Innenwinkel
> >
> > über die allgemeine Formel
> >
> [mm]cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
> >
> > oder?
>
> Genau damit.
>
ich hab das jetzt zweimal durchgerechnet und komme immer wieder zum gleichen ergebnis. Das aber auf jeden fall falsch ist.
[mm] cos\alpha=\bruch{4*(-2)+1*4+0*5}{\wurzel{17}*\wurzel{45}}
[/mm]
(Winkel zwischen a und c)
[mm] \alpha=98°
[/mm]
[mm] cos\beta=\bruch{4*0+1*7+0*2}{\wurzel{17}*\wurzel{53}}
[/mm]
(Winkel zwischen a und b)
[mm] \beta=76,5°
[/mm]
[mm] cos\gamma=\bruch{0*(-2)+4*7+2*5}{\wurzel{53}*\wurzel{45}}
[/mm]
(winkel zwischen b und c)
[mm] \gamma=40°
[/mm]
hab das ganze auch mit [mm] -\vec{c} [/mm] durchgerechnet, aber das kam von der Winkelsumme auch nicht hin.
Ich habe ich irgenwas übersehen?
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Hallo Karlchen,
>
> > > d) hier habe ich nur eine Frage zum Ansatz. Ich kann doch
> > > alle Innenwinkel
> > >
> > > über die allgemeine Formel
> > >
> >
> [mm]cos\alpha=\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
> > >
> > > oder?
> >
> > Genau damit.
> >
>
> ich hab das jetzt zweimal durchgerechnet und komme immer
> wieder zum gleichen ergebnis. Das aber auf jeden fall
> falsch ist.
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{4*(-2)+1*4+0*5}{\wurzel{17}*\wurzel{45}}[/mm]
> (Winkel zwischen a und c)
>
> [mm]\alpha=98°[/mm]
>
> [mm]cos\beta=\bruch{4*0+1*7+0*2}{\wurzel{17}*\wurzel{53}}[/mm]
> (Winkel zwischen a und b)
>
> [mm]\beta=76,5°[/mm]
>
> [mm]cos\gamma=\bruch{0*(-2)+4*7+2*5}{\wurzel{53}*\wurzel{45}}[/mm]
> (winkel zwischen b und c)
>
> [mm]\gamma=40°[/mm]
>
>
> hab das ganze auch mit [mm]-\vec{c}[/mm] durchgerechnet, aber das
> kam von der Winkelsumme auch nicht hin.
>
> Ich habe ich irgenwas übersehen?
>
>
>
Diese Ergebnisse kann ich leider nicht nachvollziehen.
Poste doch mal die Rechenschritt zu d)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 18.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
Hallo^^
A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2(4/1)
[mm] cos\alpha=\bruch{c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+c_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{2*(-2)+1*4+0*1}{\wurzel{2^{2}+1^{2}+0^{2}}*\wurzel{(-2)^{2}+4^{2}+1^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{0}{\wurzel{5}*\wurzel{21}}=0
[/mm]
[mm] \alpha=90°
[/mm]
[mm] cos\beta=\bruch{b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{2*0+1*6+0*(-1)}{\wurzel{5}*\wurzel{(0)^{2}+6^{2}+(-1)^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{6}{\wurzel{5}*\wurzel{37}}
[/mm]
[mm] \beta=64°
[/mm]
[mm] cos\gamma=\bruch{c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}}{\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{0*(-2)+6*4+(-1)*1}{\wurzel{21}*\wurzel{37}}
[/mm]
[mm] \bruch{23}{\wurzel{21}*\wurzel{37}}
[/mm]
[mm] \gamma=34°
[/mm]
sorry, bei ersten mal habe ich die zahlen irgenwie total vertauscht, diesmal müsste es zahlenmäßig richtig sein, aber auf die richtige Winkelsumme komme ich trotzdem nicht...
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Hallo Karlchen,
> Hallo^^
>
>
> A(2/1/0), B(0/6/-1), C(-2(4/1)
>
>
> [mm]cos\alpha=\bruch{c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+c_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2*(-2)+1*4+0*1}{\wurzel{2^{2}+1^{2}+0^{2}}*\wurzel{(-2)^{2}+4^{2}+1^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{0}{\wurzel{5}*\wurzel{21}}=0[/mm]
>
> [mm]\alpha=90°[/mm]
>
Hier darfst Du nicht die Vektoren [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{OC}[/mm] einsetzen, sondern hier müssen die Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] eingesetzt werden.
Demnach ergibt sich:
[mm]\cos\left(\alpha\right)=\bruch{\overrightarrow{AB} \* \overrightarrow{AC}}{\vmat{\overrightarrow{AB}}\vmat{\overrightarrow{AC}}}[/mm]
Für die anderen Winkel machst Du das analog.
>
>
> [mm]cos\beta=\bruch{b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}+b_{3}a_{3}}{\wurzel{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}*\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2*0+1*6+0*(-1)}{\wurzel{5}*\wurzel{(0)^{2}+6^{2}+(-1)^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{6}{\wurzel{5}*\wurzel{37}}[/mm]
>
> [mm]\beta=64°[/mm]
>
>
>
> [mm]cos\gamma=\bruch{c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}}{\wurzel{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}*\wurzel{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{0*(-2)+6*4+(-1)*1}{\wurzel{21}*\wurzel{37}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{23}{\wurzel{21}*\wurzel{37}}[/mm]
>
> [mm]\gamma=34°[/mm]
>
>
> sorry, bei ersten mal habe ich die zahlen irgenwie total
> vertauscht, diesmal müsste es zahlenmäßig richtig sein,
> aber auf die richtige Winkelsumme komme ich trotzdem
> nicht...
siehe oben
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Karlchen |
dankeschöön!
jetzt sieht das ganze auch schon gleich anders aus^^
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