doppelte ungleichung < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | (1+1/(n-1))^(n-1) < (1+ [mm] 1/n)^n [/mm] < 3 |
Hallo!!
Ich muss diese 2 Ungleichungen beweisen.
Leider weiß ich absolut nicht wie ich an diese Rangehen soll.
ich würde halt erst die erste Ungleichung und danach die 2te beweisen, eben getrennt voneinander.
Als Tipp habe ich noch dass die die Bernoulli Gleichung verwenden soll, bei der ersten Möglichkeit.
kann mir jemand bei einem Ansatz helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für die linke Seite:
[mm] (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}<(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
Erstmal durch [mm] (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1} [/mm] dividieren.
[mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})^n}{(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}>1 [/mm] musst du nun zeigen.
[mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})^n}{(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(1+\bruch{1}{n})^{n-1}*(1+\bruch{1}{n})}{(1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}}
[/mm]
[mm] =(\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n-1}})^{n-1}*(1+\bruch{1}{n})
[/mm]
Jetzt kannst du den linken Faktor umformen (Doppelbrüche auflösen etc.) und darauf die Bernoulli-Ungleichung anwenden.
Damit siehst du dann, dass der Ausdruck >1 ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Jana555555 |
Wow, mal eine Lösung die man wirklich nachvollziehen kann. Vielen dank!!
Ich versuch jetzt einfach mal den 2ten Teil selber zu lösen...und präsentiere dann meine Vorschläge! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mi 12.11.2008 | | Autor: | reverend |
Vielleicht ist es sogar einfacher zu zeigen, dass der Wert immer <e ist.
Dazu müsstest Du allerdings die folgende Reihenentwicklung von e verwenden dürfen und natürlich die Ungleichung e<3
[mm] e=1+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}+\bruch{1}{5!}+...
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | [mm] (1+1/n)^n [/mm] < 3 |
Komme leider auch mit deinem Tipp nicht weiter...den zweiten Teil der Aufgabe kann ich leider absolut nicht lösen!!
Kann mir noch jemand versuchen zu helfen??
|
|
|
| |
|
Klar, gern.
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}
[/mm]
Das schreibe ich einfach mal aus...
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n=\vektor{n \\ 0}\bruch{1}{n^0}+\vektor{n \\ 1}\bruch{1}{n^1}+\vektor{n \\ 2}\bruch{1}{n^2}+\vektor{n \\ 3}\bruch{1}{n^3}+\vektor{n \\ 4}\bruch{1}{n^4}+ [/mm] ... [mm] +\vektor{n \\ n}\bruch{1}{n^n}=
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1}+\bruch{n}{n}+\bruch{n(n-1)}{1*2}*\bruch{1}{n^2}+\bruch{n(n-1)(n-2)}{1*2*3}*\bruch{1}{n^3}+\bruch{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1*2*3*4}*\bruch{1}{n^4}+...=
[/mm]
In den einzelnen Summanden vertausche ich die Nenner der beiden Faktoren:
[mm] =1+1+\bruch{n(n-1)}{n^2}*\bruch{1}{1*2}+\bruch{n(n-1)(n-2)}{n^3}*\bruch{1}{1*2*3}+\bruch{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n^4}*\bruch{1}{1*2*3*4}+...=
[/mm]
[mm] =1+1+\bruch{n}{n}*\bruch{(n-1)}{n}*\bruch{1}{2!}+\bruch{n}{n}*\bruch{(n-1)}{n}*\bruch{(n-2)}{n}*\bruch{1}{3!}+\bruch{n}{n}*\bruch{(n-1)}{n}*\bruch{(n-2)}{n}*\bruch{(n-3)}{n}*\bruch{1}{4!}...
[/mm]
Das kannst Du jetzt gliedweise vergleichen mit
[mm] e=1+\bruch{1}{1!}+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+\bruch{1}{4!}...
[/mm]
Aber vergiss nicht, darauf zu achten, dass die Fortsetzungszeichen (...) einmal bis ins Unendliche reichen, und einmal nur bis n. Du musst zumindest sicherstellen, dass das Dein Ergebnis nicht verfälscht.
|
|
|
| |
|
Ich versteh nocht nicht so recht wozu ich dieses e= 1+ 1/1!+ 1/2!+... brauchen kann?
Muss doch schließlich beweisen,dass es < 3 ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Jana555555 |
ok,ich glaub jetz hab ichs doch verstanden!!
Bleibt nur noch die Frage ob ich das einfach vorraussetzen darf dass e<3 ist, denn bewiesen haben wir das leider nie.
Vielen dank trotzdem!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | reverend |
Nun ja, e=2,718281828459...<3
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Jana555555 |
Vielen dank!
jetzt ist endgültig alles klar!!!
Liebe grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 12.11.2008 | | Autor: | reverend |
| Aufgabe | | Zeige $ [mm] (1+\bruch{1}{n})^n<3 [/mm] $ |
Sieht jemand eine elegante Lösung für die ursprüngliche Aufgabenstellung? Auch wenn der gesuchte Term nach oben mit e begrenzt werden konnte - was stärker ist - gibt es doch vielleicht einen einfacheren und schöneren Weg für den eigentlich gesuchten Nachweis.
Ich wäre daran interessiert, gerade weil ich selbst keinen gefunden habe.
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige [mm](1+\bruch{1}{n})^n<3[/mm]
> Sieht jemand eine elegante Lösung für die ursprüngliche
> Aufgabenstellung? Auch wenn der gesuchte Term nach oben mit
> e begrenzt werden konnte - was stärker ist - gibt es doch
> vielleicht einen einfacheren und schöneren Weg für den
> eigentlich gesuchten Nachweis.
ja, da gibt es einen altbekannten Trick. Man betrachtet neben der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] auch die Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] mit [mm] $b_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\,.$ [/mm] Mit der Bernoulli-Ungleichung zeigt man, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] monoton fallend ist. Ferner gilt für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] zudem [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] (Warum?).
Nun ein Tipp: Zunächst überlege Dir, dass für jedes feste $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n \le b_N$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Mit (nachrechnen!) [mm] $b_6 [/mm] < 3$ folgt dann die behauptete Aussage: [mm] $a_n [/mm] < 3$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
