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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 07.01.2007 | | Autor: | mb83 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi
komme mit den doppelreihen nicht so richtig zu recht habe folgende aufgabe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty} a_j,_k) [/mm] und
[mm] \summe_{j=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{\infty} a_j,_k) [/mm] und
[mm] a_j,_k [/mm] := [mm] 3^{1-k} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] j < k
[mm] a_j,_k [/mm] := 0 für 0 [mm] \le [/mm] k < j
wie sehen die dazugehörigen reihen (in matrizenform) aus und sind diese gleich
bzw wie setzt man k bzw j in die summen ei
n?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> hi
> komme mit den doppelreihen nicht so richtig zu recht habe
> folgende aufgabe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty} a_j,_k)[/mm] und
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{\infty} a_j,_k)[/mm] und
>
> [mm]a_j,_k[/mm] := [mm]3^{1-k}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] j < k
> [mm]a_j,_k[/mm] := 0 für 0 [mm]\le[/mm] k < j
>
> wie sehen die dazugehörigen reihen (in matrizenform) aus
> und sind diese gleich
>
> bzw wie setzt man k bzw j in die summen ei
> n?
Hallo,
laß uns erst damit beschäftigen, wie die Matrizen, um welche es hier geht, aussehen.
Ich nehme einmal an, Du meintest
> [mm]a_j,_k[/mm] := [mm]3^{1-k}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] j [mm] \le [/mm] k
> [mm]a_j,_k[/mm] := 0 für 0 [mm]\le[/mm] k < j
[mm] a_{jk} [/mm] ist ja das Element der Matrix, welches in der j-ten Zeile an k-ter Stelle steht.
Aus [mm] a_j,_k:= [/mm] 0 für 0 [mm] \le [/mm] k < j können wir ablesen, daß alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen =0 sind. (Wenn Du es nicht sofort siehst, mach Dir eine 5x5 Matrix und schau, was sich für [mm] a_{21},a_{31},a_{32} [/mm] usw. ergibt.)
Man hat es also mit einer oberen Dreiecksmatrix zu tun.
Wie dieses obere Dreieck ausgefüllt wird, beschreibt
> [mm]a_j,_k[/mm] := [mm]3^{1-k}[/mm] für 0 [mm]\le[/mm] j [mm] \le [/mm] k.
Z.B. ist das Element [mm] a_{25}:=3^{1-5}=3^{-4}
[/mm]
Schreib Dir einfach mal das Ganze auf für eine 4x4 und eine 5x5-Matrix, dann wirst Du wissen, wie diese Matrizen aussehen.
Nun zur Doppelsumme. Hier darf man nur nicht die Nerven verlieren, "normale" Summen kennst Du ja.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty} a_j,_k)
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}(a_0,_k+a_1,_k+a_2,_k+a_3,_k+...)
[/mm]
soweit dürfte alles klar sein. Nun summiert man über k. Die einzelnen Summanden sind sehr lang!
[mm] =(a_0,_0+a_1,_0+a_2,_0+a_3,_0+...)+(a_0,_1+a_1,_1+a_2,_1+a_3,_1+...)+(a_0,_2+a_1,_2+a_2,_2+a_3,_2+...)+...
[/mm]
Für die andere Doppelsumme entsprechend.
Gruß v. Angela
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