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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 Di 19.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe 1 | Betrachten Sie die Funktion x-> [mm] \bruch{3x²-4x+6}{x}
[/mm]
(i) Geben Sie den Definitionsbereich an. Für welche x ist die Fkt.stetig?
(ii) Wo ist die Fkt. differenzierbar?
(iii) Wie lauten die Extremstellen?
(iv) Zeigen Sie,dass es keine Wendepunkte gibt.
(v) Auf welchen Intervallen ist die Fkt. monoton steigend?
(vi) Auf welchen Intervallen ist sie konvex? |
| Aufgabe 2 | | Gegeben sei eine Konservendose mit Höhe h und Durchmesser d. Ihr Volumen berechnet sich als [mm] V=\bruch{\pi}{4}d²h [/mm] und ihre Oberfläche beträgt M = [mm] \pi(\bruch{1}{2}d²+dh). [/mm] Wie müssen d und h gewählt werden, damit die Oberfläche bei einem vorgegebenen Volumen V=Vo minimal wird? |
| Aufgabe 3 | | Berechnen Sie [mm] \bruch{d}{dt}\integral_{logx}^{log(x+1)}{e^{t²}dt} [/mm] für x>1. |
| Aufgabe 4 | Berechnen Sie die folgenden Integrale
(i) [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{dx}{x²-2x+2}}
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{x²}{\wurzel{1+x^{3}}}}dx
[/mm]
(iii) [mm] \integral_{0}^{2}{(x²-x)logx dx} [/mm] |
| Aufgabe 5 | | Finden Sie den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+2x)^{\bruch{1}{3x}} [/mm] |
| Aufgabe 6 | | Geben Sie das Taylor Polynom vom Grad 2 an der Stelle 1 für die Funktion g(x):=arctanx an. |
Meine Lösungen:
Aufg.1
(i) Definitionsbereich: [mm] \IR [/mm] ohne 0
Hier ist die Funktion ebenfalls stetig.
(ii) 1.Ableitung ergibt: [mm] \bruch{3x²-6}{x²}
[/mm]
Die Funktion ist auf ihrem Def.bereich auch differenzierbar, also wie in (i)
(iii) x1= [mm] \wurzel{2}, [/mm] x2= [mm] -\wurzel{2}
[/mm]
Durch einsetzen in f''(x) sieht man, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] lokales Minimum ist,
[mm] -\wurzel{2} [/mm] hingegen lokales Maximum ist.
(iv) Bei der 2.Ableitung erhält man [mm] \bruch{12x}{x^{4}}. [/mm] Die Gleichung wäre nur für x=0 erfüllt, allerdings ist hier die Funktion nicht definiert => WP kann hier nicht existieren und einen anderen gibt es nicht.
(v) monoton steigend auf [mm] (-\infty,-\wurzel{2}] [/mm] und [mm] [\wurzel{2},\infty)
[/mm]
(vi) konvex auf [mm] (0,\infty)
[/mm]
Aufg.2
Hier hab ich zuerst die Volumengleichung nach h aufgelöst:
[mm] h=\bruch{4vo}{\pi d²}
[/mm]
Nun habe ich diese Lösung in M eingesetzt und erhalte nach Vereinfachung:
M= [mm] \bruch{1}{2}\pi [/mm] d² + [mm] \bruch{4vo}{d}
[/mm]
M' = [mm] \pi [/mm] d - [mm] \bruch{4vo}{d²} [/mm] = 0 gwd.
.... d= [mm] \bruch{4vo}{\pi}
[/mm]
Über die 2.Ableitung findet man dann heraus, dass es sich hierbei um ein lokales Minimum handelt.
d = [mm] \bruch{4vo}{\pi} [/mm]
h (durch einsetzen) = [mm] \bruch{\pi}{4vo}
[/mm]
Aufg.3
Hier hab ich zunächst durch Substitution [mm] z=e^{t} [/mm] die Gleichung vereinfacht:
[mm] \bruch{d}{dx}\integral_{e^{logx}}^{e^{log(x+1)}}{z² \bruch{1}{z}dz} [/mm] = ... = [mm] \bruch{d}{dx}[\bruch{1}{2}z²] [/mm] =.... einsetzen und vereinfachen .... = [mm] \bruch{d}{dx}x+\bruch{1}{2}
[/mm]
Das schließlich abgeleitet ergibt 1.
Aufg.4
(i) Hierfür hab ich eine Formel für uneigentliche Integrale gefunden, die evtl passen könnte:
... = [mm] [\bruch{2}{\wurzel{4q-p²}}arctan\bruch{2x+p}{\wurzel{4q-p²}}] [/mm] = einsetzen der Grenzen = arctan2 - arctan1 = arctan2 - [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
(ii) Ich substituiere z=1+x³ und erhalte:
[mm] \integral_{1}^{9}{\bruch{1}{3\wurzel{z}}dz} [/mm] = einsetzen der Grenzen = [mm] \bruch{1}{3}ln3
[/mm]
(iii) Hier erhalte ich nach partieller Integration u'(x) = x²-x und v(x)=logx:
[mm] \bruch{2}{3}log2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
Aufg.5
Hier bin ich echt mal gespannt!
Ich hab zunächst den Term versucht zu vereinfachen mit e und log, sodass ich nur noch:
[mm] e^{\bruch{log(1+2x)}{3x}} [/mm] da stehen hatte...hier hab ich dann nach L'Hôspital abgeleitet und erhalte für den Bruch 0, d.h. [mm] e^{0} [/mm] = 1. Der Grenzwert ist 1.
Aufg.6
g'(x) = [mm] \bruch{1}{1+x²}
[/mm]
g''(x) = [mm] \bruch{-2x}{1+2x²+x^{4}}
[/mm]
g(x) = arctan(1) + [mm] \bruch{1}{2}(x-1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(x-1)²
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Di 19.02.2008 | | Autor: | diecky |
Ich weiß es ehrlich selber nicht so genau...bei Aufg.3 steht hier:
[mm] (e^{t})^{2}
[/mm]
Ich gehe also mal davon aus, dass es [mm] e^{2t} [/mm] praktisch heißen soll, 100%ig sicher bin ich mir aber nicht, es stehen auf jeden Fall klammern um das e und der 2.Kann man nicht so gut erkennen!
Soll ich jetzt die Fragen nochmal einzeln posten oder es so lassen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo diecky!
Das Splitten der diversen Aufgaben in einzelne Threads ist bereits erledigt!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Di 19.02.2008 | | Autor: | Loddar |
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Hinweis an alle Interessenten mit Antworten  !
Bitte nicht mehr in diesem Thread antworten. Diese Aufgaben wurde alle einzeln gestellt.
Gruß
Loddar
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Bitte nicht derart viele unterschiedliche Aufgaben in einen einzigen Thread packen. Eröffne dafür bitte in Zukunft pro Aufgabe einen seperaten Thread!
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