divergente Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 15:15 Fr 11.06.2010 | | Autor: | noprop |
Wenn man Partialsummenformeln von divergenten Reihen bilden muss, kann man auf die Idee kommen, sich eine Reihe mit einer bekannten Summenformel zu nehmen und diese Reihe mit einer zweiten Reihe mit einer ebenfalls bekannten Summenformel gliedweise zu multiplizieren und auf diese Weise auch die gesuchte Summenformel zu ermitteln.
Nun kann man bei divergenten Reihen natürlich nicht mal eben zwei Summenformeln miteinander multiplizieren, aber die Multiplikation von Summenformeln muss schließlich auch bei divergenten Reihen irgendwelchen Gesetzmäßigkeiten folgen. Wenn man beispielsweise eine arithmetische Reihe mit den Gliedern [mm] a_{i} [/mm] und eine Reihe aus konstanten c miteinander multipliziert, dann ergibt sich nach ein paar empirischen Versuchen für Reihen gleicher Länge:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}=A
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}c=C
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}c*a_{i}=\bruch{1}{n}AC
[/mm]
Bei Reihen mit konstanten Gliedern ist das natürlich noch nicht so sinnvoll, aber zur Ermittlung von Summenformeln aus bereits bestehenden muss es doch Arbeiten geben, denn eine solche Ermittlung wäre bei bekannten Korrekturfaktoren wie bei dem obigen [mm] \bruch{1}{n} [/mm] doch recht einfach. Solche Arbeiten sind aber zumindest schwer zu finden. Kennt jemand Arbeiten oder Seiten zu diesem Thema?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Fr 11.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn man Partialsummenformeln von divergenten Reihen bilden
> muss,
Meinst du damit, einen geschlossenen Ausdruck, abhaengig von $n$, fuer [mm] $\sum_{i=0}^n a_i$ [/mm] zu finden, wenn [mm] $\sum_{i=0}^\infty a_i$ [/mm] eine divergente Reihe ist?
> kann man auf die Idee kommen, sich eine Reihe mit
> einer bekannten Summenformel zu nehmen und diese Reihe mit
> einer zweiten Reihe mit einer ebenfalls bekannten
> Summenformel gliedweise zu multiplizieren und auf diese
> Weise auch die gesuchte Summenformel zu ermitteln.
Das funktioniert so gut wie nie.
> Nun kann man bei divergenten Reihen natürlich nicht mal
> eben zwei Summenformeln miteinander multiplizieren, aber
> die Multiplikation von Summenformeln muss schließlich auch
> bei divergenten Reihen irgendwelchen Gesetzmäßigkeiten
> folgen. Wenn man beispielsweise eine arithmetische Reihe
> mit den Gliedern [mm]a_{i}[/mm] und eine Reihe aus konstanten c
> miteinander multipliziert, dann ergibt sich nach ein paar
> empirischen Versuchen für Reihen gleicher Länge:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{i}=A[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{n}c=C[/mm]
Beachte, dass $c = [mm] \frac{1}{n} [/mm] C$ ist.
> [mm]\summe_{i=1}^{n}c*a_{i}=\bruch{1}{n}AC[/mm]
Beachte, dass [mm] $\sum_{i=1}^n [/mm] c [mm] a_i [/mm] = c [mm] \sum_{i=1}^n a_i [/mm] = c A = [mm] \frac{1}{n} [/mm] C A$ ist.
> Bei Reihen mit konstanten Gliedern ist das natürlich noch
> nicht so sinnvoll, aber zur Ermittlung von Summenformeln
> aus bereits bestehenden muss es doch Arbeiten geben, denn
> eine solche Ermittlung wäre bei bekannten
> Korrekturfaktoren wie bei dem obigen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] doch
> recht einfach. Solche Arbeiten sind aber zumindest schwer
> zu finden. Kennt jemand Arbeiten oder Seiten zu diesem
> Thema?
Ich vermute mal ganz stark, ausser fuer ganz ganz ganz wenige sehr spezielle Faelle wird es nichts geben.
Suchst du nach etwas bestimmten?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:50 Sa 12.06.2010 | | Autor: | noprop |
Der Fall, dass die obere Grenze der Summe gegen [mm] \infty [/mm] geht, ist für mich uninteressant. Meine Frage kommt aus der Kombinatorik, wo fast alle Reihen divergent sind und wo man eigentlich immer einen konkreten Wert für eine Partialsumme für ein bestimmtes n wissen möchte.
Ich suche nach einer Lösung für einen bestimmten Typ von Binomialreihen. Diese Reihen bewegen sich auf folgende Weise im Pascalschen Dreieck:
. . . . .
. . . . . X
. . . X X . .
. X X . . . . .
Zeile n: X . . . . . . . .
In der Notation von Mathematica 7 lautet die Summenformel einschließlich eines zusätzlichen Faktors 2^Floor[(n - k - 2)/2]:
Sum[Binomial[Floor[(n - k)/2], k]*2^Floor[(n - k - 2)/2], {k, 1,Floor[n/3]}]
Mathematica kann mit dieser Formel überhaupt nichts anfangen und gibt die eingegebene Formel einfach leicht umgeformt wieder aus.
Die Glieder einer Partialsumme dieser Reihe bewegen sich weder auf der Waagerechten des Pascalschen Dreiecks, bei der man den binomischen Satz anwenden könnte, noch auf einer steilen Diagonalen, bei der man die regulären figurierten Zahlen anwenden könnte, noch auf einer flachen Diagonalen, bei der man die Fibonacci-Zahlen anwenden könnte. Ich muss irgendwie versuchen, die Reihe so umzuformen, dass sie auf eine der Geraden im Pascalschen Dreieick gebracht wird.
Zwei Bespiele dafür, wie sich die Glieder einer Partialsumme dieser Reihe im Pascalschen Dreieick bewegen, wären die Folgen 1,8,28,35,35,6,1 und 1,9,36,56,70,21,7. Zwei benachbarte Folgen der Fibonacci-Zahlen wären 1,8,21,20,5 und 1,9,28,35,15,1 (![[]](/images/popup.gif) S.18)
Ich bin bis jetzt davon ausgegangen, dass Summen mit Binomialkoeffizienten angewendet werden müssen. Bei Reihen mit Binomialkoeffizienten [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] gibt es drei grundsätzliche Fälle:
1) Der obere Ausdruck im Binomialkoeffizienten bleibt über alle Glieder der Folge konstant. Hier kann man den binomischen Satz anwenden:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}y^{n-k} [/mm] = [mm] (x+y)^{n}
[/mm]
2) Der untere Ausdruck im Binomialkoeffizienten bleibt über alle Glieder der Folge konstant. Hier kann man die verschobenen Binomialkoeffizienten anwenden:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{c+k \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{n+c+1 \\ c+1}
[/mm]
Hier ist mir immer noch nicht klar, wie diese Gleichung mit einem Faktor [mm] x^{k}y^{n-k} [/mm] oder nur mit einem [mm] x^{k} [/mm] aussieht, den man ja im allgemeinen hat. Das würde mich auch sehr interessieren.
3) Der obere Ausdruck im Binomialkoeffizienten nimmt ab und der untere Ausdruck nimmt zu, so dass sich die Werte mit steigendem k aufeinander zu bewegen:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n-k \\ k} [/mm] = [mm] \mathcal{F}_{n+1}, [/mm] wobei [mm] \mathcal{F}_{n+1} [/mm] die n+1-te Fibonacci-Zahl ist.
Auch hier würde ich gerne wissen wollen, wie das ganze mit einem Faktor [mm] x^{k}y^{n-k} [/mm] oder nur mit einem [mm] x^{k} [/mm] aussieht.
Die ersten Glieder der Reihe lauten 1,1,4,6,14,24, die das OEIS aber nicht kennt. Die ähnlichste Reihe, die ich bis jetzt gefunden habe, ist A000045 mit der Summenformel Fib(n+2)=sum(k=0..n, binomial(floor((n+k)/2),k)). Der einzige Unterschied im Binomialkoeffizienten ist das + statt des - im oberen Ausdruck, wodurch das k hier aber auch von 0..n laufen kann. Bei meiner Reihe geht das nicht, weil sich die Werte des oberen und unteren Ausdrucks aufeinander zu bewegen und der obere Ausdruck immer größer bleiben muss als der untere, weil der Binomialkoeffizient sonst zu einer negativen Fakultät und damit zu einem Fehler führen würde.
Weil ich bei Reihen mit Binomialkoeffizienten auf die obigen drei grundsätzlichen Fälle festgelegt bin, suche ich jetzt noch eine weitere Möglichkeit, die Summenformel einer Reihe zu bestimmen. Nach meinen Vorstellungen müsste das darauf hinauslaufen, eine Reihe mit einer bekannten Summenformel mit einer zweiten ebenfalls bekannten Reihe zu multiplizieren, so dass die gesuchte Reihe dadurch herauskommt. Die bekannten Summenformeln der beiden Reihen müssten dann zusammen mit einem Korrekturausdruck multipliziert werden, so dass eine gültige Summenformel dabei herauskommt.
Das ganze betrifft also Reihen mit Produkten aus Binomialkoeffizienten und Zweierpotenzen. Vielleicht hat das ja schon mal einer probiert.
Abgesehen davon, dass ich bis jetzt nicht auf die Summenformel gekommen bin, ist ein anderer Grund für diesen vielleicht etwas ungewöhlichen Versuch der, dass ich solche Ausdrücke wie Cosh[nArcSin[1]] vermeiden möchte, die Mathematica bei einigen Vereinfachungen angeboten hat. Ich würde mich ganz gerne im Bereich der Operationen mit natürlichen Zahlen bewegen. Ich werde die Summenformel wahrscheinlich später noch umformen und in andere Formeln einbauen müssen, weshalb ich mir ein Cosh[nArcSin[1]] gerne ersparen würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 12.06.2010 | | Autor: | abakus |
> Der Fall, dass die obere Grenze der Summe gegen [mm]\infty[/mm]
> geht, ist für mich uninteressant. Meine Frage kommt aus
> der Kombinatorik, wo fast alle Reihen divergent sind und wo
> man eigentlich immer einen konkreten Wert für eine
> Partialsumme für ein bestimmtes n wissen möchte.
>
> Ich suche nach einer Lösung für einen bestimmten Typ von
> Binomialreihen. Diese Reihen bewegen sich auf folgende
> Weise im Pascalschen Dreieck:
>
> . . . . .
> . . . . . X
> . . . X X . .
> . X X . . . . .
> Zeile n: X . . . . . . . .
Hallo,
ich weiß nicht, ob dir das weiterhilft, aber du kannst die Summe .XX. zweier benachbarter Zahlen durch jeweils den darunter stehenden einzelnen Binomialkoeffizienten ersetzen.
Umgekehrt kannst du auch .XX. ersetzen, indem du die DREI darüberstehenden Zahlen verwendest (linke Zahl +2*(mittlere Zahl) + rechte Zahl).
Gruß Abakus
>
> In der Notation von Mathematica 7 lautet die Summenformel
> einschließlich eines zusätzlichen Faktors 2^Floor[(n - k
> - 2)/2]:
>
> Sum[Binomial[Floor[(n - k)/2], k]*2^Floor[(n - k - 2)/2],
> {k, 1,Floor[n/3]}]
>
> Mathematica kann mit dieser Formel überhaupt nichts
> anfangen und gibt die eingegebene Formel einfach leicht
> umgeformt wieder aus.
>
> Die Glieder einer Partialsumme dieser Reihe bewegen sich
> weder auf der Waagerechten des Pascalschen Dreiecks, bei
> der man den binomischen Satz anwenden könnte, noch auf
> einer steilen Diagonalen, bei der man die regulären
> figurierten Zahlen anwenden könnte, noch auf einer flachen
> Diagonalen, bei der man die Fibonacci-Zahlen anwenden
> könnte. Ich muss irgendwie versuchen, die Reihe so
> umzuformen, dass sie auf eine der Geraden im Pascalschen
> Dreieick gebracht wird.
>
> Zwei Bespiele dafür, wie sich die Glieder einer
> Partialsumme dieser Reihe im Pascalschen Dreieick bewegen,
> wären die Folgen 1,8,28,35,35,6,1 und 1,9,36,56,70,21,7.
> Zwei benachbarte Folgen der Fibonacci-Zahlen wären
> 1,8,21,20,5 und 1,9,28,35,15,1
> (S.18)
>
> Ich bin bis jetzt davon ausgegangen, dass Summen mit
> Binomialkoeffizienten angewendet werden müssen. Bei Reihen
> mit Binomialkoeffizienten [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] gibt es drei
> grundsätzliche Fälle:
>
> 1) Der obere Ausdruck im Binomialkoeffizienten bleibt über
> alle Glieder der Folge konstant. Hier kann man den
> binomischen Satz anwenden:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*x^{k}y^{n-k}[/mm] = [mm](x+y)^{n}[/mm]
>
> 2) Der untere Ausdruck im Binomialkoeffizienten bleibt
> über alle Glieder der Folge konstant. Hier kann man die
> verschobenen Binomialkoeffizienten anwenden:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{c+k \\ c}[/mm] = [mm]\vektor{n+c+1 \\ c+1}[/mm]
>
> Hier ist mir immer noch nicht klar, wie diese Gleichung mit
> einem Faktor [mm]x^{k}y^{n-k}[/mm] oder nur mit einem [mm]x^{k}[/mm]
> aussieht, den man ja im allgemeinen hat. Das würde mich
> auch sehr interessieren.
>
> 3) Der obere Ausdruck im Binomialkoeffizienten nimmt ab und
> der untere Ausdruck nimmt zu, so dass sich die Werte mit
> steigendem k aufeinander zu bewegen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n-k \\ k}[/mm] = [mm]\mathcal{F}_{n+1},[/mm]
> wobei [mm]\mathcal{F}_{n+1}[/mm] die n+1-te Fibonacci-Zahl ist.
>
> Auch hier würde ich gerne wissen wollen, wie das ganze mit
> einem Faktor [mm]x^{k}y^{n-k}[/mm] oder nur mit einem [mm]x^{k}[/mm]
> aussieht.
>
> Die ersten Glieder der Reihe lauten 1,1,4,6,14,24, die das
> OEIS
> aber nicht kennt. Die ähnlichste Reihe, die ich bis jetzt
> gefunden habe, ist
> A000045
> mit der Summenformel Fib(n+2)=sum(k=0..n,
> binomial(floor((n+k)/2),k)). Der einzige Unterschied im
> Binomialkoeffizienten ist das + statt des - im oberen
> Ausdruck, wodurch das k hier aber auch von 0..n laufen
> kann. Bei meiner Reihe geht das nicht, weil sich die Werte
> des oberen und unteren Ausdrucks aufeinander zu bewegen und
> der obere Ausdruck immer größer bleiben muss als der
> untere, weil der Binomialkoeffizient sonst zu einer
> negativen Fakultät und damit zu einem Fehler führen
> würde.
>
> Weil ich bei Reihen mit Binomialkoeffizienten auf die
> obigen drei grundsätzlichen Fälle festgelegt bin, suche
> ich jetzt noch eine weitere Möglichkeit, die Summenformel
> einer Reihe zu bestimmen. Nach meinen Vorstellungen müsste
> das darauf hinauslaufen, eine Reihe mit einer bekannten
> Summenformel mit einer zweiten ebenfalls bekannten Reihe zu
> multiplizieren, so dass die gesuchte Reihe dadurch
> herauskommt. Die bekannten Summenformeln der beiden Reihen
> müssten dann zusammen mit einem Korrekturausdruck
> multipliziert werden, so dass eine gültige Summenformel
> dabei herauskommt.
>
> Das ganze betrifft also Reihen mit Produkten aus
> Binomialkoeffizienten und Zweierpotenzen. Vielleicht hat
> das ja schon mal einer probiert.
>
> Abgesehen davon, dass ich bis jetzt nicht auf die
> Summenformel gekommen bin, ist ein anderer Grund für
> diesen vielleicht etwas ungewöhlichen Versuch der, dass
> ich solche Ausdrücke wie Cosh[nArcSin[1]]
> vermeiden möchte, die Mathematica bei einigen
> Vereinfachungen angeboten hat. Ich würde mich ganz gerne
> im Bereich der Operationen mit natürlichen Zahlen bewegen.
> Ich werde die Summenformel wahrscheinlich später noch
> umformen und in andere Formeln einbauen müssen, weshalb
> ich mir ein Cosh[nArcSin[1]] gerne ersparen würde.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Fr 11.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Summenformeln für endliche Summen haben doch mit Divergenz oder Konvergenz nichts zu tun?
Und eine gegebene Summe als Produkt zweier andere Summen zu schreiben wieso soll das in irgendwelchen interessanten Fällen günstig sein?
Was genau ist dein Anliegen?
Wenn du für irgend ne Summe so was findest, wird das eher Zufall sein, oder die Summe ist schon das Produkt von 2 anderen.
Bücher oder Artikel dazu suchst du höchstens bei Knobeleien.
Gruss leduart
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Wenn ich richtig verstanden habe, willst du eine Summe
mit einer anderen Summe multiplizieren. Für beide hast
du Partialsummenformeln, die schon vorliegen.
Der allererste Punkt, an den du dabei wohl denken solltest,
ist der, dass du bei der Multiplikation von Summen an das
Distributivgesetz denken musst !
Es wäre wohl nützlich, wenn du dir für deine Frage ein
konkretes Beispiel (nicht kompliziert aber auch nicht
gerade trivial) ausdenkst und angibst.
Dann kann man diskutieren, was man sinnvollerweise
tun kann und was nicht.
LG Al-Chw.
Dein Beispiel mit der arithmetischen Folge und der
konstanten Folge ist insofern trivial, als man den
konstanten Summanden c sofort ausklammern kann.
Versuch es also zum Beispiel einmal mit zwei
arithmetischen Folgen, etwa:
[mm] $a_i\ [/mm] =\ i$
[mm] $b_i\ [/mm] =\ [mm] 3\,i\,+\,5$
[/mm]
[mm] $c_i\ [/mm] =\ [mm] a_i\,*\,b_i$
[/mm]
Daran wirst du feststellen, dass es schon ganz erheb-
lich schwieriger wird !
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Ich muss meine letzte Antwort "Distributivgesetz beachten !"
zurücknehmen bzw. erheblich korrigieren !
noprop will ja gerade nicht eine Summe mit einer
anderen Summe multiplizieren (das wäre absolut einfach,
wenn Summenformeln für die einzelnen Summen vorliegen),
sondern er (oder sie ?) möchte aus den Summenformeln
$\ [mm] A_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i\ [/mm] =\ .......$
$\ [mm] B_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{n}b_i\ [/mm] =\ .......$
eine Formel für
$\ [mm] C_n\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{n}c_i\ [/mm] =\ [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*b_i$
[/mm]
herstellen, für deren Berechnung man sich schlussendlich
nur auf die Werte von [mm] A_n [/mm] und [mm] B_n [/mm] und den Wert von n
stützen müsste.
Dies ist wohl nicht möglich - außer vielleicht dann, wenn
man die Art der zugelassenen Summen (bzw. Zahlenfolgen)
in irgendeiner Weise strikt einschränkt.
LG Al-Chw.
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ok, spassvögelchen,
das bringt aber niemanden wirklich weiter ...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 12.06.2010 | | Autor: | gfm |
> ok, spassvögelchen,
Ne, ich bin ein ausgewachsener Spassvogel. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
>
> das bringt aber niemanden wirklich weiter ...
Du meinst nicht weiter als das:
>Dies ist wohl nicht möglich - außer vielleicht dann, wenn
>man die Art der zugelassenen Summen (bzw. Zahlenfolgen)
>in irgendeiner Weise strikt einschränkt.
?
[mm] >C_n=A_n*B_n-\Psi_n
[/mm]
>mit [mm] \Psi_n=\summe_{i\not=k}^na_ib_k
[/mm]
Also z.B. [mm] \Psi_n=0?
[/mm]
:)
LG
gfm
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Hallo gfm,
du bringst deinen letzten Beitrag als "Frage" - aber ich
verstehe nicht, was du damit meinst.
Meine Ansicht ist:
im Allgemeinen wird eine Formel der Art $\ [mm] C_n\ [/mm] =\ [mm] f(n,A_n,B_n)$
[/mm]
nicht möglich sein, außer eventuell dann, wenn man für
die Folgen der [mm] a_i [/mm] und der [mm] b_i [/mm] sehr einschränkende Bedingungen
vorschreibt. Dabei dachte ich nur an Bedingungen für die
einzelnen (separaten) Folgen, jedoch nicht über eine für
die Folgenglieder beider Folgen insgesamt.
Deine Bedingung mit [mm] $\Psi_n\ [/mm] =\ 0$ nimmt ja einfach das
vorgefasste Resultat $\ [mm] C_n\ [/mm] =\ [mm] A_n*B_n$ [/mm] vorweg und ist in diesem
Sinne "hohl" oder freundlicher ausgedrückt "tautologisch".
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 So 13.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo gfm,
>
> du bringst deinen letzten Beitrag als "Frage" - aber ich
> verstehe nicht, was du damit meinst.
>
> Meine Ansicht ist:
>
> im Allgemeinen wird eine Formel der Art [mm]\ C_n\ =\ f(n,A_n,B_n)[/mm]
>
> nicht möglich sein, außer eventuell dann, wenn man für
> die Folgen der [mm]a_i[/mm] und der [mm]b_i[/mm] sehr einschränkende
> Bedingungen
> vorschreibt. Dabei dachte ich nur an Bedingungen für die
> einzelnen (separaten) Folgen, jedoch nicht über eine für
> die Folgenglieder beider Folgen insgesamt.
> Deine Bedingung mit [mm]\Psi_n\ =\ 0[/mm] nimmt ja einfach das
> vorgefasste Resultat [mm]\ C_n\ =\ A_n*B_n[/mm] vorweg und ist in
> diesem
> Sinne "hohl" oder freundlicher ausgedrückt
> "tautologisch".
In erster Linie hatte mein Einwurf einen humoristischen Schwerpunkt.
Davon einmal abgesehen bedeutet mein Einwurf in der Sprache der Stochastik dass
C(X,Y)=0
Dort wird ja ähnliches gebildet:
E(XY)=E(X)E(Y)+COV(XY)
Oder wenn (X,Y) zweidimensional multinomialverteilt [mm] M(n,(p_1,p_2))):
[/mm]
[mm] E(XY)=E(X)E(Y)-np_1p_2
[/mm]
Aber Schwamm drüber. Alles gut.
LG
gfm
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> In erster Linie hatte mein Einwurf einen humoristischen
> Schwerpunkt.
So habe ich das auch gesehen und verstanden ...
LG und schönen Sonntag !
Al
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![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]"){kind=small}
