diskrete Normalverteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Complex |
| Aufgabe | | Ein ganzzahliges Merkmal X lässt sich beschreiben durch eine Normalverteilung mit [mm]\mu = 120[/mm] und [mm]\sigma = 10 [/mm]. Berechnen Sie mit Stetigkeitskorrektur näherungsweise die Wahrscheinlichkeit [mm]P \left(120 |
Hallo!
Wir behandeln zur Zeit die Normalverteilung und haben im Unterricht die obenstehende Aufgabe gerechnet, die ja eigentlich trivial ist. Nur waren wir (die Schüler des Kurses) uns mit unserem Lehrer uneinig darüber, in welche "Richtung" der Stetigkeitskorrekturfaktor 0,5 angewandt werden muss, d.h. ob die Lösung
[mm]\Phi \left( \bruch{139,5 - 120}{10} \right) - \Phi \left( \bruch{120,5 - 120}{10} \right)[/mm] oder
[mm]\Phi \left( \bruch{140,5 - 120}{10} \right) - \Phi \left( \bruch{119,5 - 120}{10} \right)[/mm] ist.
Welche der beiden Lösungen ist richtig?
Vielen Dank schon im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Ein ganzzahliges Merkmal X lässt sich beschreiben durch
> eine Normalverteilung mit [mm]\mu = 120[/mm] und [mm]\sigma = 10 [/mm].
> Berechnen Sie mit Stetigkeitskorrektur näherungsweise die
> Wahrscheinlichkeit [mm]P \left(120
> Hallo!
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> Wir behandeln zur Zeit die Normalverteilung und haben im
> Unterricht die obenstehende Aufgabe gerechnet, die ja
> eigentlich trivial ist. Nur waren wir (die Schüler des
> Kurses) uns mit unserem Lehrer uneinig darüber, in welche
> "Richtung" der Stetigkeitskorrekturfaktor 0,5 angewandt
> werden muss, d.h. ob die Lösung
>
> [mm]\Phi \left( \bruch{139,5 - 120}{10} \right) - \Phi \left( \bruch{120,5 - 120}{10} \right)[/mm]
> oder
>
> [mm]\Phi \left( \bruch{140,5 - 120}{10} \right) - \Phi \left( \bruch{119,5 - 120}{10} \right)[/mm]
> ist.
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> Welche der beiden Lösungen ist richtig?
Zweiteres ist richtig.
> Vielen Dank schon im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG, Martinius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:31 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Complex |
Vielen Dank für die Antwort. Der gleichen Meinung wie du ist unser Lehrer auch, ich kann aber nicht verstehen warum. Wie kommt man denn zu dieser Lösung?
Mein Gedankengang ist nämlich folgender: Sind [mm]n[/mm] und [mm]k[/mm] ganzzahlig, dann gilt [mm] k < n \ \gdw\ k +1\le n[/mm]. Demzufolge ist auf diese Aufgabe übertragen [mm] P \left(120
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Hallo Complex,
ich bin leider kein Mathematiklehrer - nur Laie. Deshalb stelle ich auch deine Frage auf halb beantwortet, auf dass vielleicht noch ein Mathe-Lehrer eine bessere Antwort geben kann.
Wenn man bei einer diskreten Binomialverteilung jeder Zahl ein Rechteck zuordnet, dessen Höhe ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht und dessen Breite 1 ist (wobei die Zahl der Mittelpunkt der Rechtecksbreite ist, also [mm] x\pm \bruch{1}{2}), [/mm] so entspricht die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke der gesuchten Wahrscheinlichkeit z. B. bei einer Verteilungsfunktion.
Legst Du nun über alle Quader einer diskreten Binomialverteilung eine stetige Normalverteilung, so musst Du den Flächeninhalt unter der (Standard)Normalverteilung nehmen, der von den beiden Randrechtecken (i. e. die beiden Randziffernum jeweils 0,5 nach außen geschobenen) begrenzt wird.
Ohne die Stetigkeitskorrektur wäre der Flächeninhalt zu klein; mit der falschen Stetigkeitskorrektur noch einmal ein Stück zu klein.
Du findest diese anschauliche geometrische Erklärung in: Lothar Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Band III. Das Werk ist auch für Schüler im Selbsstudium einfach zu lesen. Steht vermutlich in jeder Stadtbibliothek.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 So 01.06.2008 | | Autor: | Complex |
Nochmal Danke für die Erklärung, Martinius. Die Begründung, warum man überhaupt den Korrekturfaktor verwenden muss, verstehe ich, aber warum in diesem Fall Lösung 2 und nicht Lösung 1 richtig ist, leider immer noch nicht.
Das mit der Binomialverteilung hat mich aber auf eine Idee gebracht: Die Normalverteilung aus der Aufgabe lässt sich durch eine Binomialverteilung mit [mm]n=720[/mm] und [mm]p=\bruch{1}{6}[/mm] annähern. Man kann nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen und danach vergleichen:
[mm]P \left(120
[mm]\Phi \left( \bruch{139,5 - 120}{10} \right) - \Phi \left( \bruch{120,5 - 120}{10} \right) \approx 0,97441 - 0,51994 = 0,45447[/mm]
[mm]\Phi \left( \bruch{140,5 - 120}{10} \right) - \Phi \left( \bruch{119,5 - 120}{10} \right) \approx 0,97982 - 0,48006 = 0,49976[/mm]
Wie man sieht, liegt die erste Lösung deutlich näher an der Binomialverteilung. (Oder habe ich beim Berechnen der Binomialverteilungswahrscheinlichkeiten wieder etwas falsch gemacht?) Wie kann das sein? Ist dann doch Lösung 1 richtig?
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Hallo Complex,
Du hast einen Fehler bei der Binomialverteilung gemacht. Dort berechnet man exakt die Verteilungsfunktion
$P(120 [mm] \le [/mm] X [mm] \le 140)=\sum_{k=120}^{140}{720 \choose k}\left(\bruch{1}{6} \right)^{k}*\left(\bruch{5}{6} \right)^{720-k}=49,3680$ [/mm] %
Ich habe jetzt auf die Schnelle im Internet keine geeignete Graphik gefunden. Aber einen Literaturhinweis habe ich dir ja gegeben.
Du kannst vielleicht noch einmal da schauen, unter Statistik / Normalverteilung:
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) http://www.super-nowa.de/
LG, Martinius
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Di 03.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Complex,
in dem link war doch eine passende Graphik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG, Martinius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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