disjunkte Zerlegung, < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 31.10.2005 | | Autor: | tini04 |
Hab da ne riesen Aufgabe, die mich verzweifeln lässt.Weiß nicht was gefragt ist und wie ich sie lösen soll.
i) Def:Sei M Menge.Eine disjunkte Zerlegung von M in Teilmengen ist eine Teilmenge Z der Potenzmengen von M, für die gilt: [mm] $A\not= \{ \}$ [/mm] für alle $A [mm] \in [/mm] Z$, für alle $A,B [mm] \in [/mm] Z$ mit [mm] $A\not= [/mm] B$ gilt: [mm] $A\cap B=\{ \}$, [/mm] und [mm] $\bigcup_{A \in Z} [/mm] A=M$.
(Hierbei ist [mm] $\bigcup_{A \in Z} A:=\{x: es\ gibt\ ein\ A \in Z\ mit\ x \in A\}$).
[/mm]
Zeigen sie:Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge aller Äquivalenzrelationen auf M und der Menge aller disjunkter Zerlegungen von M.
ii) Sei $f: [mm] M\to [/mm] N$ eine surjektive Abbildung und sei die Relation [mm] $\sim_{f}$ [/mm] auf M definiert durch: [mm] $x\sim_{f}y$ [/mm] genau dann wenn $f(x)=f(y)$. Zeigen sie: [mm] $\sim_{f}$ [/mm] ist eine Äquivalenzrelation.
iii)Geben sie eine Bijektion zwischen [mm] $M/\sim_{f}$ [/mm] und N an.
Ich steh vor der Aufgabe, wie der Ochs vorm Berg!Hoffentlich kann mir einer von euch dabei helfen.Ich weiß es ist eine sehr lange Aufgabe.Han auch fast ne halbe Stunde gebraucht um sie abzutippen.Liebe Grüße Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tina!
Bekanntlich liefern die Äquivalenzklasse immer eine solche Partition. Umgekehrt definiert man bei einer gegebenen Partition [mm] ${\cal Z}$:
[/mm]
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad :\Leftrightarrow \quad \exists [/mm] A [mm] \in {\cal Z}\, [/mm] : [mm] \, [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] A$.
Die b) ist trivial. Gemäß den Forenregeln solltest du mal selber versuchen die Eigenschaften einer  Äquivalenzrelation nachzuweisen; das sollte kein Problem sein, aber du kannst dich mit eigenen Ansätzen und dann auch Rückfragen gerne wieder melden.
Zur c) Offenbar wird die Bijektion durch
[mm] $\begin{array}{ccc} M/\sim_f & \to & N \\[5pt] [x] & \mapsto & f(x) \end{array}$
[/mm]
Weise bitte Wohldefiniertheit, Injektivität und Surjektivität nach.
Liebe Grüße
Stefan
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