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| Aufgabe | zeige, dass in der ungleichung
[mm] \integral_{}^{*}{(f+g) dx} \le \integral_{}^{*}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{*}{g(x) dx} [/mm] echte Ungleichheit auftreten kann. |
huhu,
man sieht es nicht so gut aber oben sind sternchen an den Integralen, sprich es ist wohl das Oberintegral gemeint.
habe heute in der Vorlesung erfahren dass man das mithilfe der Dirichletfunktion nachweisen kann.
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
mir ist klar, warum da Infimum 0 ist, aber stimmt es dass das sup 1 ist? und vor allem ich hab ja g und f in der formel, muss ich 2 mal die dirichlet funktion einsetzten oder wie mache ich das am besten?
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Hallo,
> zeige, dass in der ungleichung
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> [mm]\integral_{}^{\ast}{(f+g) dx} \le \integral_{}^{\ast}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{}^{\ast}{g(x) dx}[/mm] echte Ungleichheit auftreten kann.
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
Betrachte das Integral über das Intervall I=[0,1].
Zerlege [mm] \IQ\cap[0,1] [/mm] in zwei diskunkte in [mm] \IR [/mm] dichte Teilmengen A und B.
(Die Existenz einer solchen Zerlegung zu beweisen ist nicht schwer).
Definiere [mm] f(x):=1_A(x) [/mm] und [mm] g(x):=1_B(x), [/mm] dann ist offenbar f+g die Dirichletfunktion.
Weiterhin gilt
[mm] 1=\integral_{I}^{\ast}{(f+g) dx} [/mm] < [mm] \integral_{I}^{\ast}{f(x) dx}+\integral_{I}^{\ast}{g(x) dx}=2.
[/mm]
LG
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