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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Do 17.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Satz und Definition: I sei eine Menge und K sei ein Körper. Für alle i in I sei [mm] V_{i} [/mm] ein Vektorraum über K. Auf dem direkten Produkt $(V,+) := [mm] x_{i in I} (V_{i},+) [/mm] $definieren wir
[mm] \lambda $(....,v_{i},...) [/mm] := (...., [mm] \lambda v_{i},..)$
[/mm]
Dann ist V ein Vektorraum über K, genannt das direkte Produkt der Vektorräume$ [mm] V_{i}$; [/mm] Bezeichnung: $V = [mm] x_{i in I} V_{i}$.
[/mm]
Also ich stelle mir ja unter dem direkten Produkt einfach dasselbe vor wie untzer der direkten Summe. Wo ist genau der Unterschied bzw. mit was wird verknüpft? (mit +?)
Ich kann mir einfach keinen Unterschied zw. Produkt und Summe vorstellen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Eine sehr gute und berechtigte Frage!
Sowohl direkte Summen als auch direkte Produkte basieren auf kartesischen Produkten, die Verknüpfung wird dabei komponentenweise definiert.
Im Falle eines endlichen kartesischen Produktes fallen die beiden Begriffe zusammen!
Der einzige wesentliche Unterschied zwischen den beiden tritt bei unendlichen Produkten bzw. Summen auf, wo das direkte Produkt aus allen Tupeln besteht, während die direkte Summe nur aus den Tupeln besteht, die für alle bis auf endlich viele Komponenten gleich 0 sind.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Bei der Definition des direkten Produktes fehlt da nicht was und zwar:
[mm] (........,v_{i},....) [/mm] + [mm] (....,v_{i}',....) [/mm] := [mm] (....,v_{i} [/mm] + [mm] v_{i}',......) [/mm] neben dem verlambdafachen?
Der einzige wesentliche Unterschied zwischen den beiden tritt bei unendlichen Produkten bzw. Summen auf, wo das direkte Produkt aus allen Tupeln besteht, während die direkte Summe nur aus den Tupeln besteht, die für alle bis auf endlich viele Komponenten gleich 0 sind.
Es ist klar dass viele 0en in der Summe vorhanden sein müssen da praktisch jeder Unterraum durch den 0 - Vektor geht und der 0-Vektor selbst ein Unterraum ist. Sind dann die endlich vielen Komponenten z.b. bei einer Gerade die durch den Nullvektor geht und ein Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] ist, die Punkte der Geraden die nicht gleich dem Nullvektor sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 So 20.02.2005 | | Autor: | manil |
Hallo Reaper.
Klar, Du brauchst für einen Vektorraum eine Addition (innere Verknüpfung) und eine sogenannte äußere Verknüpfung (Produkt mit den "Skalaren"aus dem zugrundeliegenden Körper).
Seien [mm] \{(V_i, +)\}_{i \in I}[/mm] Vektorräume über dem Körper K
Es ist das direkte Produkt [mm](V,+)[/mm] definiert als
[mm]V:=\produkt_{i \in I} V_i= \left\{ (v_1,v_2,\ldots,v_i, \ldots) \big| v_i \in V_i \right\} [/mm]
mit den Verknüpfungen
[mm] ( \ldots, v_i , \ldots)+(\ldots, w_i, \ldots)=( \ldots, v_i+w_i, \ldots)[/mm]
[mm] \lambda* (\ldots, v_i, \ldots) =(\ldots, \lambda* v_i, \ldots) , \forall \lambda \in K[/mm]
Die direkte Summe [mm](W,+)[/mm] ist definiert als
[mm] W:=\bigoplus_{i \in I} V_i=\left\{(v_1,v_2,\ldots,v_i, \ldots) \in \produkt_{i \in I} V_i \big| v_i =0 \mbox{ für fast alle } i \in I\right \}[/mm]
Die Verknüpfungen werden bei der direkten Summe aus dem direkten Produkt übernommen (klar, dann bleiben wir in der direkten Summe, das ist leicht zu überlegen).
Ist nun I endlich, so gilt also [mm]\bigoplus_{i \in I} V_i=\produkt_{i \in I} V_i[/mm]
Grüße
Manil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Tja es geht wieder einmal um eine Def. die ich mir nicht so recht vorstellen kann.
Sei [mm] 1.)_{K}V [/mm] = [mm] \IR^{ \IN} [/mm] , S = {(1,0,0,..),(0,1,0,..),(0,0,1,0,..),....}. L(S) = [mm] \IR ^{(\IN)} [/mm] und nicht [mm] \IR ^{\IN}!
[/mm]
Im Klartext heißt dass ja wohl dass die lineare Hülle der Teilmenge S die direkte Summe und nicht das direkte Produkt ergibt.
Schreibweise: [mm] \IR ^{(\IN)},\IR ^{\IN}
[/mm]
Sind alle [mm] V_{i} [/mm] gleich (z.b.: [mm] V_{i} [/mm] = W) so schreibt man statt dem direkten Produkt bzw. der direkten Summe kurz [mm] W^{I} [/mm] bzw. [mm] W^{(I)}. [/mm] Ist W der Vektorraum _{K}K , so heißen die Elemente von [mm] K^{ \IN} [/mm] = [mm] {(k_{1},...k_{n})|alle k_{i} in K} [/mm] auch formale Potenzreihen, die von [mm] K^{( \IN)} [/mm] = [mm] {k_{1},...k_{n},0,0,...)|n in \IN, alle k_{i} in K} [/mm] auch Polynome.
Meine Frage lautet nun wie ich etwa bei dem obigen Bsp. sehen kann dass alle [mm] V_{i} [/mm] gleich sind und bei direkten Summe auch noch 0en in der Menge dran hängen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 22.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Eigentlich gilt:
[mm] $L(S)=\bigoplus\limits_{i \in \IN} \IR_i$
[/mm]
(denn beide Mengen enthalten alle Folgen, für die fast alle Folgenglieder verschwinden)
mit
[mm] $\IR_i:=\{(v_n)_{n \in \IN}\, : \, v_n=v \cdot \delta_{in},\, v \in \IR\}$.
[/mm]
Da wir aber für alle $i [mm] \in \IN$ [/mm] eine kanonische Isomorphie
[mm] $\begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR_i \\[5pt] v & \mapsto & (v \cdot \delta_{in})_{n \in \IN} \end{array}$ [/mm]
haben, kann man beruhigt auch
$L(S) = [mm] \bigoplus\limits_{i \in \IN} \IR [/mm] = [mm] \IR^{(\IN)}$
[/mm]
schreiben.
Viele Grüße
Julius
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