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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:27 Mi 03.05.2006 | | Autor: | mariposa |
| Aufgabe | | Kann die symmetrische Gruppe auf drei Elementen [mm] \Sigma_3 [/mm] das Produkt zweier Gruppen [mm] G_1 [/mm] x [mm] G_2 [/mm] sein, so dass weder [mm] G_1 [/mm] noch [mm] G_2 [/mm] die triviale Gruppe sind? |
Hallo,
ich habe bei der Aufgabenstellung ein grundlegendes Problem. Das direkte Produkt ist doch immer eine Menge von Paaren, oder? Die symmetrische Gruppe sind Zykel. Wie kann ich diese überhaupt als direktes Produkt schreiben?
Noch eine andere Frage: Bei einem direkten Produkt müssen doch die Faktoren nur Gruppen sein und beim semidirekten Produkt mindestens einer ein Normalteiler? Das irritiert mich ein bisschen, weil ich mir unter einem semidirekten Produkt eher ein "halbes" direktes Produkt, also weniger Voraussetzungen vorgestellt hätte. Aber so wie ich das sehe, ist doch jedes semidirekte Produkt auch direktes Produkt, oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Vielen Dank
Maike
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Hallo und guten Morgen !
Ok, formaler müsstest Du also fragen:
Kann die [mm] S_3 [/mm] isomorph zu einem direkten Produkt [mm] G_1\times G_2 [/mm] sein ?
Das sollte schon mal Dein grundlegendes Verständnisproblem bei der Aufgabenstellung beseitigen, oder ?
Nun hat die [mm] S_3 [/mm] ja genau 6 Elemente. Die einzige Möglichkeit wäre also [mm] |G_1|=2, |G_2|=3 [/mm] (oder umgekehrt  ).
Dann wäre [mm] G_1=\{e,g\}, [/mm] e das neutrale von [mm] G_1 [/mm] und es gälte notwendigerweise [mm] g^2=e.
[/mm]
Bemerkung: [mm] G_1, G_2 [/mm] wären ja dann isomorph zu Untergruppen von [mm] S_3.
[/mm]
Gibt es ein solches Element in [mm] S_3 [/mm] ? Ja, genau die Transpositionen (Vertauschen von zwei der drei Elemente) haben diese Eigenschaft.
Wählen wir oE [mm] (g,e_2)= [/mm] (12) (Vertauschen von 1 und 2). [mm] (e_2 [/mm] das Neutrale der Gruppe [mm] G_2)
[/mm]
Dann müsste ja für alle [mm] h\in G_2 (g,e_2)\cdot [/mm] (g,h) = (e,h) gelten. [mm] (\star)
[/mm]
Es muss ja [mm] G_2 [/mm] drei Elemente haben, es sind noch zwei Transpositionen und ein Dreierzykel und sein Inverses übrig.
Also muss [mm] G_2 [/mm] entweder den Dreierzykel und sein Inverses oder beide Transpositionen enthalten.
Für beide Fälle kann man nun leicht argumentieren, dass dann aber [mm] (\star) [/mm] verletzt wird.
Also lautet die Antwort: Nein.
Gruss,
Mathias
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