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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mo 03.12.2007 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | V sei endlich dimensionaler Vektorraum über K.
f: V -> V mit f [mm] \circ [/mm] f = f
X = bild(f)
Y = kern(f) |
Ich soll die direkte Summe zeigen, also V = X [mm] \oplus [/mm] Y
ich habe zunächst gezeigt, dass X [mm] \cap [/mm] Y = {0} ist, nun muss ich jedoch noch zeigen dass jeder vektor aus V durch vektoren aus X und Y dargestellt werden können oder?
wie mache ich das?
ich kann die zerlegung machen, die dann so aussieht
v = f(v) + (v - f(v)), daraus geht es hervor, jedoch kann ich doch diese zerlegung nur so hinschreiben, wenn ich schon weiss dass V = X + Y gilt, wenn es nämlich nciht gilt, kann ich (v - f(v)) nicht herbeiführen...?
ich wäre demjenigen sehr verbunden, der mich auf die richtige fährte bringt V = X+Y zu zeigen..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 03.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> ich kann die zerlegung machen, die dann so aussieht
> v = f(v) + (v - f(v)), daraus geht es hervor, jedoch kann
> ich doch diese zerlegung nur so hinschreiben, wenn ich
> schon weiss dass V = X + Y gilt, wenn es nämlich nciht
> gilt, kann ich (v - f(v)) nicht herbeiführen...?
warum das denn? der ansatz geht doch schon in die richtige richtung. sei $v [mm] \in [/mm] V$ und setze $x := f(v)$ und $y := v - f(v)$. zeige nun $v = x + y$, $x [mm] \in [/mm] X$ und $y [mm] \in [/mm] Y$. damit folgt doch dann schon, dass $V = X + Y$.
grüße
andreas
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