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| Aufgabe | | Seien [mm] U_1, [/mm] ..., [mm] U_n [/mm] Unterräume eines endlich erzeugten K-Vektorraums V. Die Summe [mm] U_1+...+U_n \subseteq [/mm] V ist eine direkte Summe, wenn [mm] U_i \cap (U_1+...+U_i-1+U_i+1+U_n)={0} [/mm] für alle i=1,...,n. Zeige: Die Summe [mm] U_1+...+U_n [/mm] ist genau dann direkt, wenn [mm] dim(U_1+...+U_n)=dimU_1+...+dimU_n. [/mm] |
Hallo,
für die Richtung [mm] \Rightarrow [/mm] gilt:
dim [mm] (U_1+...+U_n)=dim(\summe_{i=1}^{n}U_i )=dim(\summe_{i=1}^{n-1}U_i \cap U_n)+dim(U_n). [/mm] Mit vollständiger Induktion habe ich dann [mm] dim(U_1+...+U_n)=dimU_1+...+dimU_n [/mm] gezeigt.
Bei der Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] weiß ich leider nicht, wie ich anfangen könnte.
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 29.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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