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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Es gibt 3 verschiedene "Gerichte": Suppe, Salat u. Fleischiges
31 essen Suppe,
15 essen Grünen Salat,
26 essen sich mit Würstchen satt.
Die Kosten f. alle Essen zus. betragen 515 Euro.
Die einzelnen Preise für Suppe, Grünes oder Wurst sind alle ohne Cent-Beträge, also nur glatte Euro-Beträge.
Die Kosten für 2 Gerichte, nämlich Suppe u. Grün zusammen betragen genauso viel wie für Würstchen.
Wieviel bezahlt jeder fürs Essen? |
Ich komme nur bis
I. 31 S + 15 G + 26 W = 515
II. S + G = W
Gibt es eine dritte Gleichung?
Selbst, wenn es nur mit Try&Error zu lösen geht, ich mag diese Rumprobiererei nicht so gern. Aber selbst wenn, wüßte ich gar nicht wie ich anfangen sollte.
Mag jmd. helfen?
LG Sabine
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Hallo Giraffe,
> Es gibt 3 verschiedene "Gerichte": Suppe, Salat u.
> Fleischiges
> 31 essen Suppe,
> 15 essen Grünen Salat,
> 26 essen sich mit Würstchen satt.
> Die Kosten f. alle Essen zus. betragen 515 Euro.
> Die einzelnen Preise für Suppe, Grünes oder Wurst sind
> alle ohne Cent-Beträge, also nur glatte Euro-Beträge.
> Die Kosten für 2 Gerichte, nämlich Suppe u. Grün zusammen
> betragen genauso viel wie für Würstchen.
> Wieviel bezahlt jeder fürs Essen?
> Ich komme nur bis
>
> I. 31 S + 15 G + 26 W = 515
> II. S + G = W
> Gibt es eine dritte Gleichung?
>
> Selbst, wenn es nur mit Try&Error zu lösen geht, ich mag
> diese Rumprobiererei nicht so gern. Aber selbst wenn, wüßte
> ich gar nicht wie ich anfangen sollte.
> Mag jmd. helfen?
Du kannst II in I einsetzen.
Dies führt dann auf eine ![[]](/images/popup.gif) lineare diophantische Gleichung in 2 Variablen,
deren Lösung Du hier findest.
> LG Sabine
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 22.01.2009 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Auflösg. v. Gleichungen mit 2 Variablen
Die lineare diophantische Gleichg: ax + bx = c
mit vorgegebenen ganzen Zahlen a,b,c hat genau dann ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch den größten gemeinsamen Teiler g von a und b teilbar ist. (Die linke Seite ist durch g teilbar, also muss auch c durch g teilbar sein.) Wir nehmen dies im Folgenden an.
Wie bei jeder lin. Gleichg ist die Differenz zweier Lösungen eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichg
ax + bx = 0
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Auflösg. v. Gleichungen mit 2 Variablen
Die lineare diophantische Gleichg: ax + by = c
mit vorgegebenen ganzen Zahlen a, b, c hat genau dann ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch den größten gemeinsamen Teiler g von a und b teilbar ist. Die linke Seite ist durch g teilbar, also muss auch c durch g teilbar sein. Wir nehmen dies im Folgenden an.
Wie bei jeder lin. Gleichg. ist die Differenz zweier Lösungen eine Lösg. der zugehörigen homogenen Gleichg
ax + bx = 0
Wenn ich einsetze erhalte ich:
31S + 15 G + 26(S+G) = 515
31S + 26S + 15G + 26 G =
57 S + 41 G = 515
ax + by = c
Jetzt ist´s ähnlich.
Wenn 515 durch den ggT von a und b teilbar ist, dann gibt es ganzzahlige Lösungen f. x und y.
T v. 57 = ( 1, 3, 19, 57)
T v. 41 = (1, 41)
ggT = 1
Bedeutg. dieses Ergebnisses: Es gibt für meine Essenskosten-Verteil-Aufg. eine ganzzahlige Lösung, ah, das sind die reinen Euros ohne Cent-Beträge.
Nagut, das hätte ich jetzt einfach unterstellt, dass die Aussagen in der Aufg.stellg. auch stimmen.
Aber ich will doch an das Ergebnis der Aufg.stellg.: Wieviel kostet
- Suppe
- Grün (Salat)
- Würstchen
Dies ist die erste Frage. Wie komme ich an die Lösung der Textaufg..?
Die zweite Frage:
"Wie bei jeder lin. Gleichg ist die Differenz zweier Lösungen eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichg." (ax + bx = 0), so steht es in der Erklärg. oben.
Diesen Satz kapiere ich nicht.
lin. Gleichg. heißt z.B.: ax + by = c (Exponent ist hoch 1)
Diff. 2er Lösungen heißt x1 minus x2 = Unterschiedsbetrag
Was meint "eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichg."
Homogen, weiß ich, heißt gleich. Aber es ist so abstrakt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Do 22.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Auflösg. v. Gleichungen mit 2 Variablen
> Die lineare diophantische Gleichg: ax + bx = c
> mit vorgegebenen ganzen Zahlen a,b,c hat genau dann
> ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch den größten
> gemeinsamen Teiler g von a und b teilbar ist. (Die linke
> Seite ist durch g teilbar, also muss auch c durch g teilbar
> sein.) Wir nehmen dies im Folgenden an.
> Wie bei jeder lin. Gleichg ist die Differenz zweier
> Lösungen eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichg
> ax + bx = 0
>
> Auflösg. v. Gleichungen mit 2 Variablen
> Die lineare diophantische Gleichg: ax + by = c
> mit vorgegebenen ganzen Zahlen a, b, c hat genau dann
> ganzzahlige Lösungen in x und y, wenn c durch den größten
> gemeinsamen Teiler g von a und b teilbar ist. Die linke
> Seite ist durch g teilbar, also muss auch c durch g teilbar
> sein. Wir nehmen dies im Folgenden an.
> Wie bei jeder lin. Gleichg. ist die Differenz zweier
> Lösungen eine Lösg. der zugehörigen homogenen Gleichg
> ax + bx = 0
>
> Wenn ich einsetze erhalte ich:
> 31S + 15 G + 26(S+G) = 515
> 31S + 26S + 15G + 26 G =
> 57 S + 41 G = 515
Hallo,
ich weiß nicht, welches Vorwissen du hast. Geh einfach mal logisch ran. Es stimmt zwar, dass lineare diophantische Gleichungen unendlich viele Lösungen aus dem Bereich der ganzen Zahlen haben (können), aber der praktische Sachverhalt schließt das meiste aus. Die Anzahlen der Essenportionen kann nicht negativ sein.
Aus 57 S + 41 G = 515 folgt schon mal, dass S nur zwischen 0 und 9 liegt.
Außerdem kannst du umstellen zu
41 G = 515 - 57 S.
Nun probierst du die wenigen Möglichkeiten für S durch und prüfst, wann 515 - 57 S durch 41 teilbar ist.
Gruß Abakus
> ax + by = c
> Jetzt ist´s ähnlich.
> Wenn 515 durch den ggT von a und b teilbar ist, dann gibt
> es ganzzahlige Lösungen f. x und y.
> T v. 57 = ( 1, 3, 19, 57)
> T v. 41 = (1, 41)
> ggT = 1
> Bedeutg. dieses Ergebnisses: Es gibt für meine
> Essenskosten-Verteil-Aufg. eine ganzzahlige Lösung, ah, das
> sind die reinen Euros ohne Cent-Beträge.
> Nagut, das hätte ich jetzt einfach unterstellt, dass die
> Aussagen in der Aufg.stellg. auch stimmen.
> Aber ich will doch an das Ergebnis der Aufg.stellg.:
> Wieviel kostet
> - Suppe
> - Grün (Salat)
> - Würstchen
> Dies ist die erste Frage. Wie komme ich an die Lösung der
> Textaufg..?
>
>
> Die zweite Frage:
> "Wie bei jeder lin. Gleichg ist die Differenz zweier
> Lösungen eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichg."
> (ax + bx = 0), so steht es in der Erklärg. oben.
> Diesen Satz kapiere ich nicht.
> lin. Gleichg. heißt z.B.: ax + by = c (Exponent ist hoch
> 1)
> Diff. 2er Lösungen heißt x1 minus x2 =
> Unterschiedsbetrag
> Was meint "eine Lösung der zugehörigen homogenen
> Gleichg."
> Homogen, weiß ich, heißt gleich. Aber es ist so abstrakt.
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