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| Aufgabe | | Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K sowie U und W Untervektorräume von V. Es gelte dim V=7, dim U = 5 und dim W =6. Berechnen Sie alle Möglichkeiten für dim U [mm] \cap [/mm] W. Begrüden Sie Ihre Antwort. |
Der Dimensionssatz gilt ja nur für Summen von Untervektorräumen, hier ist das ja eine Schnittmenge. Also könnte man die schon mal nicht anwenden, wenn ich richtig liege.
So, da hört es dann auch schon auf. Ich würde jetzt mal behaupten, dass die Schnittmengen 5 und 4 möglich sind.
Die Dimension des Vektorraums ist ja 7. So könnte U beispielsweise 5 Dimensionen haben, die in den Dimensionen von W bereits enthalten sind.
Aber weniger als 4 verschiedene Dimensionen geht ja nicht, wenn ich das richtig verstanden habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K sowie U und
> W Untervektorräume von V. Es gelte dim V=7, dim U = 5 und
> dim W =6. Berechnen Sie alle Möglichkeiten für dim U [mm]\cap[/mm]
> W. Begrüden Sie Ihre Antwort.
> Der Dimensionssatz gilt ja nur für Summen von
> Untervektorräumen, hier ist das ja eine Schnittmenge. Also
> könnte man die schon mal nicht anwenden, wenn ich richtig
> liege.
wieso sollte das nicht gehen? Les' die Dimensionsformel mal von rechts nach links, dann steht da
[mm] $$\dim(U)+\dim(W)-\dim(U \cap W)=\dim(U+W)\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$(\star)\;\;\;\dim(U \cap W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U+W)\,.$$
[/mm]
Rechterhand sind [mm] $\dim(U)$ [/mm] und [mm] $\dim(W)$ [/mm] bekannt, nun solltest Du natürliche Zahlen [mm] $n_1, n_2$ [/mm] finden, so dass
[mm] $$n_1 \le \dim(U+W) \le n_2\,$$
[/mm]
gilt, wobei [mm] $n_1$ [/mm] dabei so groß wie möglich und [mm] $n_2$ [/mm] so klein wie möglich sei. Dabei ist $U+W$ die Menge alle Linearkombinationen von Vektoren aus [mm] $U\,$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm] (welche ja jeweils Teilmengen von [mm] $V\,$ [/mm] sind), insbesondere ist [mm] $U\,+W$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $V\,.$ [/mm]
> So, da hört es dann auch schon auf. Ich würde jetzt mal
> behaupten, dass die Schnittmengen 5 und 4 möglich sind.
Die Aussage macht, in dieser Formulierung (wie auch die folgenden), keinen Sinn. Du möchtest hier sicher über die Dimension eines gewissen Unterraums reden.
> Die Dimension des Vektorraums ist ja 7. So könnte U
> beispielsweise 5 Dimensionen haben, die in den Dimensionen
> von W bereits enthalten sind.
>
> Aber weniger als 4 verschiedene Dimensionen geht ja nicht,
> wenn ich das richtig verstanden habe.
Also eigentlich geht es nun noch darum, in [mm] $(\star)$ [/mm] eine bestmögliche Abschätzung für [mm] $\dim(U+W)$ [/mm] jeweils nach oben und nach unten zu finden. Überlege Dir mal:
Wenn [mm] $\dim(U)=5$ [/mm] und [mm] $\dim(W)=6$ [/mm] ist, was dann für eine Basis von $U+W$ gelten muss. $W$ enthält mindestens 6 linear unabhängige Vektoren, wir nennen sie [mm] $w_1,...,w_6$, [/mm] sie bilden eine Basis für [mm] $W\,.$ [/mm] Ferner seien [mm] $u_1,...,u_5$ [/mm] fünf linear unabhängige Vektoren aus [mm] $U\,.$ [/mm] Was folgt aus der offensichtlich richtigen Beziehung $W [mm] \subset [/mm] U+W$ für [mm] $\dim(U+W)$? [/mm] Was folgt ferner wegen $U+W [mm] \subset [/mm] V$?
(Du kannst natürlich auch direkt mit Basen argumentieren:
a) [mm] $w_1,...,w_6$ [/mm] bilden eine Basis von $W$ und sind linear unabhängig, aber [mm] $w_j \in [/mm] U+W$ gilt auch für $j=1,...,6$. Das liefert [mm] $\dim(U+W) \ge...$
[/mm]
b) 1. Fall: Wenn sich jeder der Vektoren [mm] $u_i$ [/mm] ($i=1,...,5$) als Linearkombination der [mm] $w_j$ [/mm] ($j=1,...,6$) darstellen läßt, so folgt $U+W=W$ (Warum?), dann wäre...
2. Fall: Es gibt einen Vektor [mm] $u_i$, [/mm] der von [mm] $w_1,...,w_6$ [/mm] linear unabhängig ist. Dann ist $U+W=V$ und es folgt...
P.S.: Mache Dir bitte auch klar, dass, wenn [mm] $w_1,...,w_6,u_i$ [/mm] eine Basis von $V$ bilden, dass dann [mm] $w_1,...,w_6,u_i,u_j$ [/mm] für $j [mm] \in \{1,2,3,4,5\}\setminus\{i\}$ [/mm] linear abhängig sein müssen.)
P.P.S.:
Ich erhalte:
$11-7=4 [mm] \le \dim(U \cap [/mm] W) [mm] \le 11-6=5\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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