dimension von bild und kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:36 Do 04.12.2008 | | Autor: | Gopal |
| Aufgabe | Durch f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit f(x,y)=(x-y,y-x) ist eine lineare Abbildung gegeben.
a) Bestimmen Sie den Kern und das Bild von f.
b) Zeigen Sie, dass für u,v [mm] \in \IR^2 [/mm] durch
u~v [mm] :\gdw [/mm] (u-v) [mm] \in [/mm] Kern(f)
eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IR^2 [/mm] gegeben ist.
Wie sehen die dazugehörigen Äquivalenzklassen aus? |
Hallo,
ich wiederhole gerade den Urschleim der Algebra und bin etwas verwirrt:
Ich habe eine Abblidung f(x,y)=(x-y,y-x) gegeben.
Der Kern von f ist ja die Menge der Paare, die auf (o,o) abgebildet werden also {(x,y): x=y} (dim Ker(f)=1?)
Das Bild von f ist die Menge der Paare, die bei der Abbildung von [mm] \IR^2 [/mm] durch f entstehen also [mm] {(0,0),(x,y):x\not=y}. [/mm] (dim Bild(f)=2?)
Jetzt soll doch aber auch gelten, dass, wenn f: V [mm] \to [/mm] W, dann dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Bild(f)). Also 2=1+2?
Sicherlich habe ich wiedereinmal irgendetwas total banales nicht richtig verstanden. Bitte helft mir auf die Sprünge!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Do 04.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe eine Abblidung f(x,y)=(x-y,y-x) gegeben.
> Der Kern von f ist ja die Menge der Paare, die auf (o,o)
> abgebildet werden also {(x,y): x=y} (dim Ker(f)=1?)
Bis hierhin ist soweit alles richtig. Es ist [mm] $\dim\ker(f)=1$, [/mm] denn [mm] $(1,1)^t$ [/mm] ist eine Basis des Kerns.
> Das Bild von f ist die Menge der Paare, die bei der
> Abbildung von [mm]\IR^2[/mm] durch f entstehen also
> [mm]{(0,0),(x,y):x\not=y}.[/mm] (dim Bild(f)=2?)
Nein, das stimmt nicht. Das Bild sind die Vektoren der Form [mm] $(x,-x)^t$ [/mm] und z.B. ist [mm] $(-1,1)^t$ [/mm] eine Basis, also [mm] $\dim\operatorname{im}(f)=1$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Do 04.12.2008 | | Autor: | Gopal |
Hm, mal wieder auf'm Schlauch gestanden. Vielen Dank!
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