dim, linerarer Operator, ker T < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper F.
a) Weisen Sie nach, dass dim V gerade ist, wenn es einen linearen Operator T: V [mm] \to [/mm] V mit T(V) = ker T gibt. Hierbei bezeichnet ker T den Kern oder Nullraum von T.
b)Zeigen Sie, dass für jeden Vektorraum V mit dim V = 2n , N [mm] \in \IN [/mm] (einschließlich 0), ein linearer Operator T: V [mm] \to [/mm] V mit T(V) = ker T existiert. |
huhu,
neues Thema für uns, daher sehr unsicher, vor allem weil es "zu leicht" vor kommt.
also zu a) hab ich so argumentiert:
a) Nach Dimensionssatz gilt:
dim V = dim (ker T) + dim T(V)
Setze (nach Vorraussetzung) T(V) = Ker T
=> dim V = dim(ker T) + dim (ker T)
=> dim V = 2 dim (ker T)
V ist durch 2 teilbar, also ist dim V gerade!
zu b) (da bin ich sehr unsicher)
dim (V) = 2 [mm] \* [/mm] n v= span [mm] 2\* (a_{1}..............a_{n})
[/mm]
es sei [mm] T(a_{1}) [/mm] = [mm] T(a_{2})=.......=T(a_{n})
[/mm]
also ker T = [mm] span(a_{1}..............a_{n})
[/mm]
[mm] T(a_{1})=a_{1} ........T(a_{n})=a_{n}
[/mm]
also
T(V) = 2 [mm] \* \summe_{i=1}^{n} c_{i} \* T(a_{i})
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper
> F.
>
> a) Weisen Sie nach, dass dim V gerade ist, wenn es einen
> linearen Operator T: V [mm]\to[/mm] V mit T(V) = ker T gibt. Hierbei
> bezeichnet ker T den Kern oder Nullraum von T.
>
> b)Zeigen Sie, dass für jeden Vektorraum V mit dim V = 2n ,
> N [mm]\in \IN[/mm] (einschließlich 0), ein linearer Operator T: V
> [mm]\to[/mm] V mit T(V) = ker T existiert.
> huhu,
>
> neues Thema für uns, daher sehr unsicher, vor allem weil
> es "zu leicht" vor kommt.
> also zu a) hab ich so argumentiert:
>
> a) Nach Dimensionssatz gilt:
> dim V = dim (ker T) + dim T(V)
> Setze (nach Vorraussetzung) T(V) = Ker T
> => dim V = dim(ker T) + dim (ker T)
> => dim V = 2 dim (ker T)
> V ist durch 2 teilbar, also ist dim V gerade!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b) (da bin ich sehr unsicher)
>
> dim (V) = 2 [mm]\*[/mm] n v= span [mm]2\* (a_{1}..............a_{n})[/mm]
>
> es sei [mm]T(a_{1})[/mm] = [mm]T(a_{2})=.......=T(a_{n})[/mm]
> also ker T = [mm]span(a_{1}..............a_{n})[/mm]
> [mm]T(a_{1})=a_{1} ........T(a_{n})=a_{n}[/mm]
> also
> T(V) = 2 [mm]\* \summe_{i=1}^{n} c_{i} \* T(a_{i})[/mm]
Das verstehe ich nicht so recht.
Erst einmal, was soll v= span [mm]2\* (a_{1}..............a_{n})[/mm] bedeuten? Wenn der Vektorraum die Dimension 2n hat, so gibt es eine Basis [mm] $\{a_1,\dots,a_{2n}\}$ [/mm] mit
[mm] V = \mathop{\mathrm{span}} \{a_1,\dots,a_{2n}\} [/mm] .
Ich nehme an, du meinst
[mm]T(a_{1}) = T(a_{2})=.......=T(a_{n}) = 0 [/mm],
und dann:
[mm] T(a_{n+1}) = a_1[/mm], [mm] T(a_{n+2}) = a_2[/mm], [mm]\dots, T(a_{2n}) = a_n [/mm],
sodass (wie du schreibst) gilt:
[mm] \ker T = \mathop{\mathrm{span}} \{a_1,\dots,a_{n}\} [/mm] .
und
[mm] T(V) = \mathop{\mathrm{span}}\{a_1,\dots,a_{n}\} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
heyhey^^
danke für die Antwort und Erklärung, ich wusste die b war wie für mich selbst seltsam^^ Vielen Dank für den richtigen Weg!
Lg ;)
Evelyn
|
|
|
|
